179. Взаимное расположение двух окружностей.

Пусть даны окружность и точка не совпадающая с ее центром С (рис. 205). Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка совпадет с из которых одна будет ближайшей к точке сравнению со всеми другими точками окружности), а другая — наиболее удаленной.

Рис. 204.

Рис. 205.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности — ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности ломаная длиннее отрезка САГ: но и потому Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Разбор остальных двух случаев предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние равно наименьшее если или если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, г. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

Рис. 206.

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, s). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой.

Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров . Отрезок - общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного. выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай По условию . Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.