65. Возвратные уравнения.

Биквадратные уравнения — частный вид уравнений четвертой степени, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Другой случай, когда такое сведение также возможно, дают возвратные уравнения четвертой степени:

Такое уравнение называется возвратным потому, что у него коэффициенты при членах, расположенных симметрично относительно среднего члена, одинаковы (строка коэффициентов , а читается одинаково слева направо и справа налево). Разделим уравнение почленно на и сгруппируем члены, как указано ниже:

Введем неизвестную у с помощью равенства

Тогда . Для у получаем из (65.2) квадратное уравнение

Пусть его корни тогда находится из уравнений

которые также записываются как уравнения второй степени:

Пример. Решить уравнение

Решение. Делим уравнение на и группируем члены:

Полагая , получим

Корни этого уравнения: . Находим х из уравнений

Решения уравнения таковы: корень.

Упражнения

1. Исследовать линейные уравнения:

2. Решить уравнения:

3. Решить уравнения:

4. Решить уравнения:

5. Решить уравнения:

6. Решить уравнения:

7. Решить уравнения (отыскав целый корень уравнения):

8. Решить уравнения:

Указание. В последнем примере ввести новую неизвестную .