65. Возвратные уравнения.
Биквадратные уравнения — частный вид уравнений четвертой степени, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Другой случай, когда такое сведение также возможно, дают возвратные уравнения четвертой степени:
Такое уравнение называется возвратным потому, что у него коэффициенты при членах, расположенных симметрично относительно среднего члена, одинаковы (строка коэффициентов
, а читается одинаково слева направо и справа налево). Разделим уравнение почленно на
и сгруппируем члены, как указано ниже:
Введем
неизвестную у с помощью равенства
Тогда
. Для у получаем из (65.2) квадратное уравнение
Пусть его корни
тогда находится из уравнений
которые также записываются как уравнения второй степени:
Пример. Решить уравнение
Решение. Делим уравнение на
и группируем члены:
Полагая
, получим
Корни этого уравнения:
. Находим х из уравнений
Решения уравнения таковы:
корень.
Упражнения
1. Исследовать линейные уравнения:
2. Решить уравнения:
3. Решить уравнения:
4. Решить уравнения:
5. Решить уравнения:
6. Решить уравнения:
7. Решить уравнения (отыскав целый корень уравнения):
8. Решить уравнения:
Указание. В последнем примере ввести новую неизвестную
.