171. Параллельные прямые.

Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются. Если имеется точка М и не проходящая через нее прямая АВ (рис. 185), то через точку М всегда можно провести прямую, параллельную данной. Для этого опустим из М перпендикуляр на прямую АВ, а затем восставим уже к этому перпендикуляру перпендикуляр МС; полученная прямая не пересечет данной, так как если бы АВ и МС пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые АВ и МС, перпендикулярные к что невозможно.

Указанное построение доказывает существование параллельных прямых.

Рис. 185.

В качестве одной из предпосылок, принимаемых без доказательства (аксиом или постулатов), принимается следующая:

Через произвольную точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

Следствие. Если две прямые в плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Доказательство. Если бы эти прямые пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные данной (третьей) прямой. Параллельность прямых обозначается так: .

Верно также следующее предложение:

Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой (или к другим).

Доказательство. Если ЛВ и N — точка пересечения , рис. 186), то прямая, проведенная через N перпендикулярно к будет параллельна АВ.

Рис. 186.

Рис. 187.

Но через N проходит лишь одна прямая CD, параллельная АВ; отсюда следует перпендикулярность MQN и CD.

Рассмотрим две параллельные прямые (рис. 186) и перпендикуляр MUN к ним. Убедимся, что этот перпендикуляр является осью симметрии для фигуры, образованной этими прямыми («полосы»).

Действительно, если перегнем рис. 186 по , то в силу равенства прямых углов между собой луч совместится с лучом и луч лучом

Далее, пусть - два перпендикуляра к параллельным АВ и CD (рис. 187).

Тогда т. е. длины всех отрезков, перпендикулярных к паре параллельных прямых и заключенных между ними, равны между собой (параллельные прямые равноотстоят друг от друга на всем своем протяжении).

Для доказательства возьмем середину отрезка - точку М и проведем через нее перпендикуляр MN к данным параллельным прямым. Сгибая рис. 187 по линии MN, убедимся, что и совпадут, т. е.

Рассмотрим еще прямую KL, проведенную параллельно двум данным параллельным прямым (рис. 187) через середину отрезка MN, перпендикулярного к ним. Предоставим читателю показать, что, сгибая рис. 187 по KL, мы совместим АВ и