215. Задачи на построение.

Задача 1. Провести касательную к окружности из данной точки, лежащей вне ее.

Решение. Угол между касательной и радиусом, проведенным вточку касания, прямой. Этот прямой угол опирается на отрезок, соединяющий данную точку и центр О окружности (рис. 290).

Отсюда виден способ построения: на отрезке ОМ, как на диаметре, строим окружность; точки ее пересечения с данной окружностью и будут точками касания искомых касательных с окружностью. Соединяя точки и с данной точкой М, получим обе касательные, проведенные из М.

Рис. 290.

Это решение простейшее, но можно решить задачу и по-другому. Например, провести любую секущую через М и найти среднее геометрическое между секущей и ее внешней частью. Это будет длина касательной. Радиусом, равным ей, сделаем на данной окружности засечки, проведя дугу из М, как из центра, и снова найдем точки

Задача 2. Построить общие касательные двух окружностей.

Решение. Рассмотрим две окружности на рис. 291. В данном случае они расположены одна вне другой и не имеют точек пересечения.

Рис. 291.

Это — случай, когда к ним можно провести наибольшее число общих касательных — две «внешних» и две «внутренних». Точки пересечения этих двух пар касательных лежат на линии центров и могут быть найдены, как центры гомотетии данных двух окружностей. Проводим, например, любой из радиусов ОА одной окружности (рис. 291) и параллельные ему радиусы второй. Соединим концевые точки радиусов с концом радиуса ОА. Линии и АА, (последняя не параллельна если ) пересекут линию центров в искомых, центрах гомотетии Касательные, проведенные из к любой из двух окружностей, будут касаться другой.

Напомним и другой способ решения этой задачи. Построим две окружности с центром в центре большей из двух данных окружностей и радиусами, равными сумме и разности радиусов данных окружностей.

Проведем к ним касательные из центра малой окружности (рис. 292). Искомые касательные будут соответственно параллельны: внешние — касательным к малой, внутренние — касательным к большой, вспомогательной окружности.

Рис. 292.

Упражнения

1. Дуга содержит 40°. Под каким углом видна из ее точек стягивающая ее хорда?

2. Углы треугольника соответственно равны 50°, 60°, 70°. На стороне, лежащей против угла в 50°, как на диаметре построена полуокружность, пересекающая две другие стороны. На какие дуги полуокружность разбивается точками пересечения?

3. Из внешней точки проведены касательная и секущая к окружности. Касательная меньше секущей на и больше ее внешней части на п. Найти длину касательной.

4. Определить угол при вершине равнобедренного треугольника, у которого сумма основания и высоты, проведенной к основанию, равна диаметру описанного круга.

5. Доказать, что произведение отрезков любой касательной к окружности, заключенных между точкой касания и двумя параллельными между собой касательными к той же окружности, равно квадрату радиуса окружности.

6. Описать вокруг данной окружности ромб с острым углом в 30°.

7. Из внешней точки провести секущую к окружности так, чтобы ее внутренняя часть имела заданную длину.