17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть
Получаем
Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростть с помощью известных формул (115.4), (116.1):
Таким образом,
Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули надо перемножить, а аргументы сложить.
Это правило остается верным для любого количества сомножителей.
Пример 1. Найти произведение чисел
Решение.
Так как деление — действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделить, а аргументы вычесть:
Пример 2. Найти частное от деления числа
на число
Решение. Находим по формуле (17.2):
Используем теперь равенство (17.1) для возведения произвольного комплексного числа
в натуральную степень
. Для этого придется модуль
этого числа взять множителем
раз и аргумент
взять слагаемым
раз. Это приводит к равенству
Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для вождения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример 3. Вычислить
.
Решение. В соответствии с формулой Муавра (17.3)
Если число z задано в алгебраической форме а
то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.