17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть

Получаем

Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростть с помощью известных формул (115.4), (116.1):

Таким образом,

Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули надо перемножить, а аргументы сложить.

Это правило остается верным для любого количества сомножителей.

Пример 1. Найти произведение чисел

Решение.

Так как деление — действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделить, а аргументы вычесть:

Пример 2. Найти частное от деления числа на число

Решение. Находим по формуле (17.2):

Используем теперь равенство (17.1) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень . Для этого придется модуль этого числа взять множителем раз и аргумент взять слагаемым раз. Это приводит к равенству

Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для вождения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Пример 3. Вычислить .

Решение. В соответствии с формулой Муавра (17.3)

Если число z задано в алгебраической форме а то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.