240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
Покажем, что для двух данных скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр, т. е. единственная прямая, которая не только образует с данными прямыми прямые углы, но и пересекает каждую из них. Представим себе, что через скрещивающиеся прямые 
проведены параллельные плоскости 
(рис. 345). Всякая прямая, например АА, перпендикулярная к этим плоскостям, будет уже перпендику лярна к данным прямым, но, вообще говоря, не пересечет их.
Если, однако, провести через прямую 
плоскость 
параллельную прямой АА, то она пересечет вторую из скрещивающихся прямых 
в точке С. Перпендикуляр к плоскостям X и X, проведенный через эту точку, и будет искомым: он не только образует с 
прямые углы, но и пересекает обе эти прямые. Его можно также получить как линию пересечения плоскостей 
проходящих соответственно через данные прямые тип параллельно прямой АА. Найденный перпендикуляр дает кратчайший путь от одной прямой к другой. Этот кратчайший путь равен расстоянию между параллельными плоскостями, заключающими данные две прямые.
Задача 1. Два равнобедренных прямоугольных треугольника ABC и АВС имеют общую гипотенузу 
, плоскости же треугольников взаимно перпендикулярны. Найти кратчайшее расстояние между их общей гипотенузой и линией ВВ, соединяющей вершины прямых углов.
Решение. Проведем высоты ВН и 
данных треугольников (рис. 346). Треугольник 
равнобедренный и прямоугольный (обосновать!).
Рис. 346.
Рис. 347.
Его высота 
перпендикулярна одновременно к обеим прямым АС и ВВ и поэтому является общим перпендикуляром этих прямых. Расстояние ИНХ — искомое. Легко находим
Задача 2. Сторона ВС треугольника ABC лежит в плоскости 
, высота 
треугольника наклонена к плоскости 
под углом а. Найти углы наклона его сторон 
и 
к плоскости 
.
Решение. Опустим из вершины А треугольника ABC перпендикуляр AM на плоскость 
(рис. 347). В треугольнике проведена высота 
причем по условию 
Находим 
.
Теперь из прямоугольных треугольников АМС и АМВ определяем синусы искомых углов:
Таким образом, 
.
Задача 3. Две наклонные, проведенные к плоскости X из одной и той же точки М (рис. 348), наклонены к ней под углами 
. Определить угол между проекциями наклонных, если наклонные образуют между собой угол 
вершиной в М).
Рис. 348.
Решение. Пусть точка М, из которой проведены наклонные, отстоит от плоскости А, на расстояние 
. Тогда длины наклонных соответственно равны 
, а длины 
их проекций 
. В треугольнике МАВ сторона АВ определяется по теореме косинусов:
а затем по той же теореме находится косинус искомого угла 
из треугольника 
Упражнения
1. Наклонная длины 10 образует с плоскостью угол 30°. Какой угол образует с плоскостью наклонная, проведенная 
той же точки, если ее длина равна 20?
2. Из некоторой точки плоскости проведены два луча, образующих с плоскостью углы, равные 30°, а между собой угол в 60°. Найти угол между их проекциями на плоскость.
3. Два равносторонних треугольника имеют общую сторону; расстояниз между их вершинами, не лежащими на общей стороне, составляет одну треть стороны. Найти кратчайшее расстояние между их общей стороной и линией, соединяющей третьи вершины.
