240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.

Покажем, что для двух данных скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр, т. е. единственная прямая, которая не только образует с данными прямыми прямые углы, но и пересекает каждую из них. Представим себе, что через скрещивающиеся прямые проведены параллельные плоскости (рис. 345). Всякая прямая, например АА, перпендикулярная к этим плоскостям, будет уже перпендику лярна к данным прямым, но, вообще говоря, не пересечет их.

Если, однако, провести через прямую плоскость параллельную прямой АА, то она пересечет вторую из скрещивающихся прямых в точке С. Перпендикуляр к плоскостям X и X, проведенный через эту точку, и будет искомым: он не только образует с прямые углы, но и пересекает обе эти прямые. Его можно также получить как линию пересечения плоскостей проходящих соответственно через данные прямые тип параллельно прямой АА. Найденный перпендикуляр дает кратчайший путь от одной прямой к другой. Этот кратчайший путь равен расстоянию между параллельными плоскостями, заключающими данные две прямые.

Задача 1. Два равнобедренных прямоугольных треугольника ABC и АВС имеют общую гипотенузу , плоскости же треугольников взаимно перпендикулярны. Найти кратчайшее расстояние между их общей гипотенузой и линией ВВ, соединяющей вершины прямых углов.

Решение. Проведем высоты ВН и данных треугольников (рис. 346). Треугольник равнобедренный и прямоугольный (обосновать!).

Рис. 346.

Рис. 347.

Его высота перпендикулярна одновременно к обеим прямым АС и ВВ и поэтому является общим перпендикуляром этих прямых. Расстояние ИНХ — искомое. Легко находим

Задача 2. Сторона ВС треугольника ABC лежит в плоскости , высота треугольника наклонена к плоскости под углом а. Найти углы наклона его сторон и к плоскости .

Решение. Опустим из вершины А треугольника ABC перпендикуляр AM на плоскость (рис. 347). В треугольнике проведена высота причем по условию Находим .

Теперь из прямоугольных треугольников АМС и АМВ определяем синусы искомых углов:

Таким образом, .

Задача 3. Две наклонные, проведенные к плоскости X из одной и той же точки М (рис. 348), наклонены к ней под углами . Определить угол между проекциями наклонных, если наклонные образуют между собой угол вершиной в М).

Рис. 348.

Решение. Пусть точка М, из которой проведены наклонные, отстоит от плоскости А, на расстояние . Тогда длины наклонных соответственно равны , а длины их проекций . В треугольнике МАВ сторона АВ определяется по теореме косинусов:

а затем по той же теореме находится косинус искомого угла из треугольника

Упражнения

1. Наклонная длины 10 образует с плоскостью угол 30°. Какой угол образует с плоскостью наклонная, проведенная той же точки, если ее длина равна 20?

2. Из некоторой точки плоскости проведены два луча, образующих с плоскостью углы, равные 30°, а между собой угол в 60°. Найти угол между их проекциями на плоскость.

3. Два равносторонних треугольника имеют общую сторону; расстояниз между их вершинами, не лежащими на общей стороне, составляет одну треть стороны. Найти кратчайшее расстояние между их общей стороной и линией, соединяющей третьи вершины.