75. Алгебраические неравенства.

Неравенства между двумя алгебраическими выражениями, такие, например, как

могут при подстановке вместо буквенных параметров, входящих в лезую и правую части неравенств, переходить либо в верные, либо в неверные числовые неравенства. Так, неравенство

удовлетворяется при и не удовлетворяется при

Имеются, однако, такие неравенства, которые оказываются справедливыми для всех допустимых значений входящих в них буквенных параметров. Таковы, например, неравенства (везде мы имеем в виду только действительные значения параметров)

Иногда приходится проводить доказательство неравенств; при этом «доказать неравенство» - значит установить, что оно справедливо для любых допустимых значений параметров.

Пример 1. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Решение. Под средним арифметическим двух чисел понимают число , а под их средним геометрическим число .

Требуется доказать справедливость неравенства

для всех положительных чисел а и b. Данное неравенство равносильно неравенству

преобразуем левую часть неравенства (75.2):

Теперь видно, что неравенство (75.2), а следовательно и неравенство (75.1), выполняется при любых положительных и если , то неравенство строгое; если же , то среднее арифметическое равно среднему геометрическому.

Дадим неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим также геометрическое истолкование (см. рис. 295, п. 216). Среднее геометрическое двух отрезков а и b, сумма которых принята за диаметр окружности, изображается полухордой MD, а среднее арифметическое — радиусом ОМ, который не меньше этой полухорды.

Неравенство (75.1) также обобщается на случай положительных чисел и записывается в форме

(доказательство мы не приводим).

Пример 2. Доказать, что при любом положительном а справедливо неравенство

Решение. Данное неравенство можно записать в равносильной форме:

Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель:

(обе части неравенства преобразуются тождественно). Полученное неравенство верно: числители дробей равны 1, а знаменатель в правой части меньше. Из неравенства (75.6) следует неравенство (75.5), а из него — неравенство (75.4), которое требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что во всей области допустимых значений а, b, с имеет место неравенство

Решение. Обе части неравенства (75.7) неотрицательны; поэтому мы можем возвести неравенство в квадрат:

откуда получаем

Всякий раз, когда а, b, с лежат в о.д.з. неравенства (75.7) и выполнено неравенство (75.9), будет выполнено и неравенство (75.7). Поэтому доказательство неравенства (75.7) сводится к доказательству неравенства (75.9). Обе его части также неотрицательны. Возводим его в квадрат. Получаем

или

- неравенство, верное при всех значениях а, b, с. В силу неравенства (75.11) устанавливаем последовательно справедливость предшествующих неравенств (75.10), (75.9), (75.8), вплоть до неравенства (75.7), которое требовалось доказать.

Упражнения

1. Доказать, что при выполняется неравенство

Доказать, что если , то

Доказать, что для любых действительных чисел выполняется неравенство

Доказать, что если , то ( — неотрицательные числа).