68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения.

В общем случае система двух уравнений с двумя неизвестными при условии, что одно из уравнений — второй степени, а второе — линейное, имеет следующий вид:

Для отыскания решений системы (68.1) можно из второго ее уравнения выразить одну неизвестную через другую (например, х через у) и это выражение подставить в первое уравнение, которое после этого сведется к квадратному уравнению (в отмеченном случае относительно ). Решив его, найдем два значения этой неизвестной и по ним определим два соответствующих значения второй неизвестной.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнения данной системы находим Подставим вместо х это выражение в первое уравнение:

После простых преобразований получится уравнение

из которого найдем

По найденным значениям у определим соответствующие значения

Решения системы запишем в виде

или, короче, в виде

Указанный метод решения является общим. В некоторых частных случаях удобней применять более специальные приемы решения рассматриваемых систем уравнений (хотя общий метод и остается применимым).

Рассмотрим систему вида

Здесь требуется найти неизвестные по заданным их сумме и произведению. Станем искать эти неизвестные как корни одного квадратного уравнения. В силу теоремы Виета (п. 60) такое квадратное уравнение составляется в

(сумма его корней равна а, произведение равно b). Если теперь обозначим корни уравнения (68.3) через то решения системы (68.2) получим в виде

К этому же случаю сводятся и системы вида

Действительно, примем за новые неизвестные . Ясно, что система (68.4) равносильна системе вида

и сводится к системе типа (68.2)

Пример. 2. Решить следующие системы уравнений:

Решение, а) Введем вспомогательную неизвестную и для нее составим квадратное уравнение

Корни этого уравнения:

Таким образом,

б) Записываем нашу систему в виде ,

Отсюда

Корни этого уравнения:

Таким образом,

в) Перепишем данную систему так:

Отсюда

Найдя из этого уравнения

получим

Решения данной системы:

Пример 3. Решить систему

Решение. Удобно возвести второе уравнение системы в квадрат и вычесть из него почленно первое уравнение:

Теперь используем второе уравнение системы (68.5) и полученное уравнение, выражающее ху:

Эту систему уже решаем, как предыдущие, с помощью теоремы Виета:

имеем

Решения системы (68.5):

(оба они удовлетворяют и первоначальной системе (68.5)).

Совсем просто решается система вида

Действительно, при разделим второе уравнение на первое почленно:

и придем к системе уравнений первой степени