15. Рациональные действия с комплексными числами.
Уже в определении комплексных чисел было указано, что действия над ними определяются как действия над алгебраическими двучленами. Рассмотрим сначала действия сложения и вычитания: под суммой (разностью) комплексных чисел
понимают такое комплексное число, действительная и мнимая части которого представляют собой соответственно суммы (разности) действительных и мнимых частей данных чисел. Обозначаются сумма и разность обычным образом, как
:
полном согласии с правилами действий над двучленами). Аналогично находится алгебраическая сумма любого числа слагаемых.
Заметим, что при введении обозначения комплексного числа
мы, строго говоря, использовали знак сложения
не в своем прямом смысле: ведь складывать а и
мы в этот момент еще не умели. Сейчас, однако, видно, что можно понимать комплексное число
как сумму действительного числа
и чисто мнимого
Пример 1.
; вычислить
Решение.
Заметим, что сумма двух сопряженных чисел
есть число действительное, а разность — чисто мнимое; в самом деле,
Произведение
комплексных чисел
определяется как произведение двучленов (п. 19) с применением обычного правила раскрытия скобок:
Пример 2. Вычислить произведение чисел
Решение.
Заметим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть неотрицательное действительное число; в самом деле,
Число
называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа
. В частности, когда
число
действительное, то
— модуль действительного числа, рассматриваемого как частный случай комплексного числа, — есть то же самое, что модуль действительного числа в прежнем смысле слова (п. 6).
Очевидно, что
. Равенство (15.3) означает, что произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.
Произведение нескольких сомножителей может быть найдено последовательным умножением. Натуральная степень комплексного числа, например
и вообще
может быть найдена при помощи формул квадрата суммы, куба суммы
и вообще формулы бинома Ньютона
При этом удобно использовать общее правило для возведения в любую натуральную степень мнимой единицы
. Так как
то при возведении
в любую степень можно, не меняя результата, отбросить от показателя степени слагаемое, кратное четырем. Поэтому для возведения числа
в любую натуральную степень
надо найти остаток при делении
на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.
Пример 3. Найти: а)
.
Решение, а) Имеем
отсюда
имеем
отсюда
.
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Пользуемся формулой куба суммы (20.6):
Деление комплексных чисел определим как действие, обратное умножению, результат деления назовем частным.
Частное от деления
на
(предполагается, что
) обозначается, как обычно, через
или
и, по определению, является таким числом z, что
.
Покажем, что при
существует вполне определенное комплексное число
- частное от деления
на
Будем искать неизвестное
из условия
Обозначив
получим
и, пользуясь определением равенства комплексных чисел (п. 14), найдем
Для искомых чисел
у получилась система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (см. пп. 66, 67). Решая эту систему, найдем (рекомендуется проделать вычисления подробно, пользуясь, например, методом исключения неизвестных или определителями)
т. е.
Так как
, то и
, т. е. деление выполнимо при любом
Практически удобней не пользоваться громоздкой формулой (15.4), а выполнять деление следующим приемом: для отыскания частного
умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же число
, (сопряженное с числом
). Получаем дробь
знаменатель которой равен
, т. е. уже является действительным числом.
Пример 5. Разделить
на
.
Решение
.
В дальнейшем нам окажутся полезными следующие соотношения, показывающие, что результат рациональных действий, выполненных над числами, комплексно сопряженными с данными, сам комплексно сопряжен с результатом тех же действий, выполненных над данными числами:
Выведем, например, вторую из этих формул (доказательство первой и третьей предоставим читателю). Пусть даны
Тогда
Находим
и
Из сравнения этих результатов и следует требуемое соотношение.
В заключение заметим, что над комплексными числами выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль), причем в результате снова получаются комплексные числа. Комплексные числа образуют числовое поле — поле комплексных чисел.
Рис. 8.