237. Перпендикуляр и наклонные.

Возьмем какую-либо плоскость и точку М, не принадлежащую ей (рис. 339). Пусть перпендикуляр к плоскости , проведенный через точку М.

Рис. 339.

Рис. 340.

Здесь мы употребляем слово «перпендикуляр», имея в виду также отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости, между точкой М и точкой ее пересечения с плоскостью (основанием перпендикуляра). Соединяя другие точки А, В, ... плоскости X сточкой М, получим отрезки МА, называемые наклонными. Каждая из наклонных длиннее перпендикуляра.

Отрезки между основаниями наклонных и основанием перпендикуляра называются проекциями наклонных.

Из двух наклонных больше та, у которой большая проекция (сравниваются наклонные, проведенные из одной точки). Верно и обратное: большая из двух наклонных, проведенных из одной точки, имеет и большую проекцию.

Сформулируем и докажем теорему «о трех перпендикулярах».

Теорема. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к ее проекции тогда и только тогда, когда она перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая а (рис. 340) проведена в плоскости X перпендикулярно к тогда она герпендикулярна и к всякая прямая в К) и, значит, перпендикулярна одновременно к двум непараллельным прямым и плоскости

Поэтому она перпендикулярна ко всем прямым плоскости (и к самой этой плоскости). Мы доказали, что прямая, проведенная в некоторой плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной (и обратно).

По существу, понятие наклонной не играет важной роли в этой теореме. Для нас важно, что плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости к (рис. 340). Теорема, же наша доказывает, что и вторая плоскость к содержит перпендикуляр к первой плоскости. Итак:

Если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит перпендикуляр к другой, то и вторая плоскость содержит перпендикуляр к первой.