Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

§ 1. Пропорциональные отрезки

203. Пропорциональные отрезки.

В п. 162 было показано, что, выбирая определенный масштаб измерения, т. е. единицу длины, мы сможем любому отрезку приписать вполне определенную длину, выражаемую некоторым числом, рациональным или иррациональным. Иначе говоря, длина отрезка по отношению к некоторой единице длины, выбранной за основную, может быть выражена десятичной дробью, конечной или бесконечной, периодической или непериодической. Длина отрезка является вместе с тем выражением отношения этого отрезка к единичному. Отношение двух произвольных отрезков можно определить как отношение их длин. Так, если при измерении одним и тем же масштабным отрезком один из данных отрезков имеет длину а, а другой b, то отношение отрезков равно . При этом отношение отрезков не зависит от выбора масштабного отрезка, оно полностью определяется самими отрезками. Именно, при изменении масштабного отрезка в X раз длины данных двух отрезков, выражавшиеся ранее числами а и b, выразятся теперь числами , отношение же их сохранится: .

В п. 199 мы показали, что ряд параллельных прямых, отсекающих на данной прямой равные отрезки, отсекает равные отрезки и на произвольной другой прямой, не параллельной данной. Обобщим это свойство: рассмотрим ряд параллельных прямых и две произвольные прямые АВ и АВ, пересекаемые ими (рис. 255).

Рис. 255.

Теорема. Отрезки, отсекаемые рядом параллельных прямых на двух произвольных не параллельных им прямых, пропорциональны.

Допуская, что данные прямые образуют угол, это утверждение формулируют так:

Ряд параллельных прямых делит стороны угла на пропорциональные отрезки.

На рис. 255, следовательно, должно быть

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждое из отношений (203.1) равно одному и тому же числу. Чтобы ввести в рассмотрение это число, отложим на одной из прямых, например на АВ, масштабный отрезок MN и проведем через его концы прямые того же направления, что и наши секущие параллельные прямые. При этом на второй прямой будет отсечен некоторый отрезок MN. Отношение MN/MN будет некоторым вполне определенным числом, так как величина его не зависит от того, в каком месте на АВ взят масштабный отрезок.

Покажем теперь, что любые отрезки, отсеченные на АВ и АВ рядом параллельных прямых, относятся один к другому, как MN к MN, например: . С этой целью будем измерять длину отрезка масштабом MN, а длину отрезка - масштабом MN. Пусть отрезок MN укладывается на отрезке раз (но не укладывается раз). Проведя через концы уложенных на отрезков, равных MN, прямые, параллельные остальным секущим, убедимся, что отрезок MN уложится на отрезке столько же раз, сколько отрезок MN на отрезке MN. Остатки отрезков будем измерять десятыми долями отрезков MN и MN соответственно и т. д. (этот и последующие шаги на рис. 255 не показаны). Видно, что процесс измерения приведет для к одному и тому числу . Тогда

и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Доказанная теорема верна как в случае пересекающихся, так и в случае параллельных прямых АВ у АВ.

Пусть теперь две пересекающиеся прямые рассечены парой параллельных прямых (рис. 256); тогда по нашей теореме

Выясним теперь, как относятся сами отрезки секущих прямых, заключенные между сторонами угла Для этого проведем прямую параллельную второй стороне угла . Тогда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки . По свойствам производных пропорций находим, учитывая равенство

Доказано предложение:

Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, пропорциональны отрезкам, отсекаемым этими прямыми на сторонах угла, считая от его вершины.

Задача 1. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные нескольким другим данным отрезкам.

Решение. Пусть АВ — данный отрезок, который мы должны разделить на части, пропорциональные отрезкам а, b, с, d. Проведем построение, сходное с тем, которое исследовалось для решения задачи о делении отрезка на равные части.

Рис. 256.

Рис. 257.

Именно, через точку А проведем произвольный луч а под некоторым углом к отрезку АВ и отложим на этом луче последовательно отрезки равные заданным. Соединим конец последнего из этих отрезков с концом В отрезка АВ и через остальные точки деления проведем прямые, параллельные Эти прямые и рассекут АВ на части, пропорциональные отрезкам а, b, с, d (рис. 257) в силу только что доказанной теоремы.

Задача 2. Найти отрезок, образующий с тремя данными отрезками пропорцию.

Решение. Пусть даны три отрезка а, b, с (рис. 258); требуется найти отрезок такой, чтобы выполнялось соотношение Для отыскания такого отрезка возьмем произвольный угол и отложим на его стороне ОА отрезки и на второй стороне ОВ угла отложим отрезок . Соединим точки М и К, а через L проведем прямую, параллельную этому отрезку МК, до пересечения ее со второй стороной угла в точке N.

Отрезок MN, заключенный между проведенными параллельными прямыми, и будет искомым. Длина его выражается формулой

Рис. 258.

Рис. 259.