122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2).

Иногда требуется основные тригонометрические функции (sina, cosa, tga) выразить рационально через tg(a/2). Покажем, например, как это делается для sina. Используя тождества можно писать

Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части последнего равенства, почленно на получим

Используя тождество читатель может доказать, что

Соответствующая формула для приводилась нами в п. 119:

Зная tg a, можно получить формулу

Замечание. Формулы (122.1) — (122.4) имеют смысл для всех значений аргумента а, кроме где n — целое число. Пример 1. Дано Найти sina, cosa и tga. Решение. На основании формулы (122.1) имеем

Аналогично .

tga уже проще искать так:

Пример 2. Вычислить если .

Решение. На основании формул (122.1) и (122.2) находим

Упражнения

1. Доказать тождество

2. Упростить ,

3. Доказать тождество

4. Получить формулы, выражающие через степени sin a и cos a.

5. Упростить .

6. Дано: где Вычислить

7. Упростить

8. Доказать тождество

9. Доказать, что

10. Дано: . Найти sina и cosa.

11. Вычислить если

12. Получить выражение для через tga.

13. Доказать тождество .