109. Некоторые неравенства и их следствия.

Выведем теперь некоторые неравенства и их следствия.

Неравенство 1. Для всех действительных значений удовлетворяющих неравенствам справедливы следующие неравенства:

Доказательство. Пусть число удовлетворяет неравенствам Построим окружность радиуса и в ней отложим от оси Ох центральный угол АОМ, равный радианам (рис. 111). Из чертежа видно, что площадь меньше площади сектора АОМ, которая меньше площади . Соответствующие площади равны и . Следовательно,

Так как , то и неравенства (109.2) принимают вид

Заметив, что приходим к неравенствам (109.1).

Неравенство 2. Для всех действительных значений справедливо неравенство

(Абсолютная величина функции sinx не превосходит абсолютной величины ее аргумента.)

Доказательство. 1) Если то неравенство (109.4) справедливо на основании (109.1).

2) Если то, сделав замену переменной на у по формуле получим , где уже удовлетворяет неравенствам и для него справедливы неравенства . Вернувшись к переменной получим или .

Рис. 111.

Последние неравенства равносильны неравенству ибо

Если же то и подавно так как

Итак, мы доказали, что для всех действительных значений справедливо неравенство (109.4).

Заметим, что только при мы имеем равенство

Неравенство 3. Для всех действительных значений справедливы неравенства

и, следовательно, неравенство

Доказательство. По формуле (121.3) (см. стр. 306) имеем

На основании неравенства (109.4) можем писать Таким образом, что и требовалось доказать.

Из (109.5) получим

С помощью полученных неравенств изучим поведение cosx, sinx и при малых

Следствие 1. При малых

Доказательство. На основании (109.5) имеем а это и значит, что при малых причем ошибка, которую мы допускаем при замене на 1, не превосходит

Пример 1. , причем

Пример 2. , причем

Следствие 2. При малых

Доказательство. Пусть тогда на основании (109.3) имеем

Разделим теперь на каждый из членов последних неравенств; получим

Умножим все члены неравенств (109.7) на —1; получим

Затем ко всем членам последних неравенств прибавим по единице, получим

Применив теперь одно из неравенств (109.5), получим

Мы вывели (109.10) в предположении, что Рекомендуем читателю доказать самостоятельно, что (109.10) имеет место и при . Итак, при удовлетворяющих условию справедливы неравенства (109.10). А это и значит, что причем ошибка, которую мы допускаем при замене на не превосходит имеем

Пример 3. , причем

Пример 4. , причем

Упражнения

1. Указать области определения и области изменения следующих тригонометрических функций:

2. Оценить ошибку, которую мы допустим, если приближенно положим; к 0,4.