115. Косинус суммы и разности двух аргументов.

а) Косинус разности. Предположим, что углы а и Р удовлетворяют следующим двум условиям:

На рис. 126 изображены углы и . Точки А, В и С лежат на единичной окружности . Заметим, что .

Рис. 126.

Кроме системы координат будем рассматривать еще новую систему координат полученную из старой поворотом на угол .

В дальнейшем будем использовать тот факт, что расстояние ВС между точками В и С, вычисленное в старой системе координат и в новой системе координат будет одинаково.

В системе координат Оху точка В имеет координаты , а точка С — координаты (cosa, sina). По формуле (114.1) имеем

В системе координат точка В имеет координаты (1, 0), а точка С — координаты . По формуле (114.1) найдем

Приравняв правые части формул (115.1) и (115.2), получим выражение для косинуса разности двух углов:

Мы доказали теорему:

Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.

Заметим, что ограничения, наложенные на углы и условиями 1) и 2), можно снять. В самом деле, допустим, что снято ограничение налагаемое на углы а и условиями 1), и мы имеем:

или

Положив получим . Без ограничения общности будем считать, что . (Ниже будет показано, что условие 2) не существенно.)

Итак, углы , удовлетворяют условиям 1) и 2), при которых была доказана теорема. Следовательно,

Подставив вместо их значения, получим

Воспользовавшись периодичностью синуса и косинуса, придем к формуле (115.3).

Мы показали, что условие 1) не существенно.

Допустим теперь, что, вопреки условию . Воспользовавшись четностью косинуса, будем иметь

Итак, доказана общность формулы (115.3), т. е. ее справедливость при любых углах .

б) Косинус суммы. Так как формула (115.3) справедлива для любых двух углов , то, заменив в ней на , получим

Воспользовавшись четностью косинуса и нечетностью синуса, будем иметь

Мы доказали теорему:

Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.

Пример. Вычислить

Решение.

Формулы (115.3) и (115.4), как и все выводимые в дальнейшем соотношения для тригонометрических функций, сохраняют свою силу и для тригонометрических функций числового аргумента. Вообще, в дальнейшем мы уже не будем всякий раз указывать, как понимается аргумент тригонометрической функции (как угол или как число).