115. Косинус суммы и разности двух аргументов.
а) Косинус разности. Предположим, что углы а и Р удовлетворяют следующим двум условиям:
На рис. 126 изображены углы
и
. Точки А, В и С лежат на единичной окружности
. Заметим, что
.
Рис. 126.
Кроме системы координат
будем рассматривать еще новую систему координат
полученную из старой поворотом на угол
.
В дальнейшем будем использовать тот факт, что расстояние ВС между точками В и С, вычисленное в старой системе координат
и в новой системе координат
будет одинаково.
В системе координат Оху точка В имеет координаты
, а точка С — координаты (cosa, sina). По формуле (114.1) имеем
В системе координат
точка В имеет координаты (1, 0), а точка С — координаты
. По формуле (114.1) найдем
Приравняв правые части формул (115.1) и (115.2), получим выражение для косинуса разности двух углов:
Мы доказали теорему:
Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.
Заметим, что ограничения, наложенные на углы
и
условиями 1) и 2), можно снять. В самом деле, допустим, что снято ограничение
налагаемое на углы а и
условиями 1), и мы имеем:
или
Положив
получим
. Без ограничения общности будем считать, что
. (Ниже будет показано, что условие 2) не существенно.)
Итак, углы
, удовлетворяют условиям 1) и 2), при которых была доказана теорема. Следовательно,
Подставив вместо
их значения, получим
Воспользовавшись периодичностью синуса и косинуса, придем к формуле (115.3).
Мы показали, что условие 1) не существенно.
Допустим теперь, что, вопреки условию
. Воспользовавшись четностью косинуса, будем иметь
Итак, доказана общность формулы (115.3), т. е. ее справедливость при любых углах
.
б) Косинус суммы. Так как формула (115.3) справедлива для любых двух углов
, то, заменив в ней
на
, получим
Воспользовавшись четностью косинуса и нечетностью синуса, будем иметь
Мы доказали теорему:
Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.
Пример. Вычислить
Решение.
Формулы (115.3) и (115.4), как и все выводимые в дальнейшем соотношения для тригонометрических функций, сохраняют свою силу и для тригонометрических функций числового аргумента. Вообще, в дальнейшем мы уже не будем всякий раз указывать, как понимается аргумент тригонометрической функции (как угол или как число).