§ 15.5. Алгебры с делением простой степени

Предположение о том, что поле F содержит примитивный корень степени из 1, сужает возможности применений предложения 15.4. Однако если опустить это предположение, то это предложение перестает быть справедливым. Албертом построен пример нециклической алгебры с делением степени четыре, содержащей подполе вида

В этом параграфе мы докажем, что обращение леммы 15.4 справедливо без дополнительных предположений для алгебр с делением простой степени Идея доказательства состоит в расширении поля F до путем присоединения к нему примитивного корня степени из 1 и применении предложения 15.4, а затем возвращении к исходному полю F с помощью следствия Тот факт, что степень взаимно проста несколько раз используется в доказательстве. То, что это свойство не имеет места в случае, когда является корнем степени из 1, является основным препятствием для распространения характеризации циклических алгебр с делением на алгебры степени вида

Повсюду в этом параграфе простое число, взаимно простое с характеристикой поля (Случай полей характеристики рассмотрен в упр. 3.) Пусть примитивный корень степени из 1, содержащийся в алгебраическом замыкании поля Положим Так как дисло просто то наибольший общий делитель чисел тир равен 1. Расширение циклично, так что пусть Сопряженные элементы к корню являются его степенями, так что где причем Поскольку порядок автоморфизма х равен то при

Лемма. Пусть элемент удовлетворяет условию Тогда циклическое расширение и где циклическое расширение степени

Доказательство. По предположению для подходящего элемента Пусть где Продолжим автоморфизм на положив Условие, наложенное на элемент и, определяет автоморфизм F-алгебры поскольку Из предположения вытекает, что и поэтому существует такой автоморфизм -алгебры что Следовательно, Так как

отображения порождают абелеву группу автоморфизмов F-алгебры поле неподвижных элементов относительно которой есть Таким образом, расширение Галуа с группой Галуа Порядок ограничения делит порядок автоморфизма Следовательно, имеет при некотором порядок Поэтому и группа имеет порядок . С другой стороны, Следовательно, группа циклическая и в силу леммы где К — поле неподвижных элементов относительно автоморфизма Таким образом, циклическое расширение степени

Обращение леммы также справедливо: если элемент таков, что расширение циклично, то (см. упр. 1).

Предложение. Пусть -алгебра с делением простой степени Тогда алгебра циклична в том и только том случае, если она содержит подполе, изоморфное полю при некотором

Доказательство. Если алгебра циклична, то по лемме 15.4 она содержит подполе вида При доказательстве обратного утверждения сохраним соглашения, предшествующие лемме. Так как степень взаимно проста с то из предложения 13.4 вытекает, что алгебра с делением степени над Кроме того, так как то полином а неприводим над (см. упр. 2). По предположению для некоторого элемента Таким образом, в силу предложения и где Достаточно показать, что элемент можно выбрать таким, что

В самом деле, ввиду предыдущей леммы и следствия будем иметь где циклично. Пусть А обозначает циклическую алгебру Тогда из следует в силу предложения 14.4а, что Кроме того, ввиду Следовательно, — циклическая алгебра в силу предложения Для упрощения обозначений положим По лемме если Таким образом, доказательство будет полностью завершено, если построить

элемент такой, что элемент удовлетворяет соотношению Положим Заметим, что потому что всех В частности, Следовательно, так что Значит, поскольку полная система вычетов по модулю Аналогичное вычисление приводит к более общему результату

где Выберем такими, что и положим В силу (2)

Кроме того, так как то существуют такие числа что Следовательно,

и

Доказанному предложению можно дать и другую, несколько более общую формулировку.

Следствие. Пусть свободное от квадратов натуральное число, взаимно простое с характеристикой поля и пусть алгебра с делением степени Тогда алгебра циклична в том и только в том случае, когда поле является ее полем разложения для некоторого а

Доказательство. Если алгебра циклична, то такое поле разложения существует ввиду леммы 15.4 и следствия 13.3. Для доказательства обратного утверждения запишем где различные простые числа. По теореме о примарном разложении где алгебра с делением степени Поле должно расщеплять алгебру так как в противном случае а тогда не расщепляет поскольку не делит степень

Таким образом, Ввиду следствия 13.3 алгебра содержит подполе, изоморфное полю Поэтому в соответствии с предыдущим предложением циклическая алгебра. Из следствия 15.3 вытекает тогда, что также циклическая алгебра.

Упражнения

(см. скан)