§ 8.7. Замена представления

В этом параграфе мы покажем, что изменение ориентации, введенное в § 8.6, сопровождается заменой представления. Этот факт играет ключевую роль при доказательстве обеих частей теоремы 8.2.

Обозначения, (i) Пусть — источник колчана а некоторое его представление. Определим представление положив для

Сокег и для и взяв в качестве композицию вложения и естественной проекции прямой суммы на Если морфизм в то определим морфизм положив для и определив таким образом, чтобы диаграмма

оказалась коммутативной.

(ii) Пусть сток колчана Определим следующим образом: для для и

для пусть это композиция

Если некоторый морфизм в то определим морфизм

условиями: для таков, что диаграмма

коммутативна.

Тот факт, что и являются представлениями колчана очевиден, ибо в действительности определение представления колчана не содержит практически никаких ограничений. В то же время, для того чтобы увидеть, что и действительно являются морфизмами, необходимо провести некоторые вычисления. Предположим, что является источником в и пусть Если то требуемое равенство является переформулировкой соответствующего условия перестановочности для 9. Условие для 1 легко проверить, пройдя по стрелкам в диаграмме

в которой непомеченные стрелки являются естественными вложениями или проекциями. Подобные же рассуждения показывают, что является морфизмом в случае, когда сток колчана

Лемма. Пусть ацикличный колчан, и пусть и представления колчана Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) определяют функторы из в соответственно в случаях, когда является источником и стоком в

(iii) если I является источником то где при ;

(iv) если является стоком то где для

Доказательство. Условие легко проверяется путем соединения диаграмм вида (1) или (2). Следовательно, утверждение (i) можно считать проверенным, ибо условие

очевидно. Стандартное вычисление показывает, что откуда легко следует Для доказательства (iii) обозначим через Анализ приведенных выше определений показывает, что для

Для а для гомоморфизм является ограничением на проекции на (т. е. если то Так как то последовательность гомоморфизмов -пространств точна.

Таким образом, существует такой гомоморфизм -пространств что гомоморфизм является изоморфизмом между Для положим Тогда является изоморфизмом. В самом деле, если то для условие очевидно. Доказательство двойственно в категорном смысле доказательству

Предложение. Пусть ацикличный колчан и неразложимое представление Пусть также источник (сток) Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) если где простое представление в вершине то ;

(ii) если то представление неразложимо, и для

(iii) Г - колчан конечного типа в том и только том случае, если конечного типа.

Доказательство. Мы докажем утверждения (i), (ii) и (iii) для случая, когда является источником. Утверждения в скобках, которые возникают, когда является стоком, получаются стандартным приемом обращения стрелок, обозначающих морфизмы. Утверждение (i) совсем элементарно. Действительно, для является факторпространством прямой суммы которая равна нулю, ибо не содержит петель. Предположим, что Из утверждения (iii) леммы вытекает, что Ввиду того что представление неразложимо и неизоморфно имеем В частности, Таким образом, представление неразложимо и обладает свойством Тогда Из неразложимости следует, что Поэтому так что В самом деле, если то, согласно утверждению (iv) леммы. для всех Для доказательства последнего утверждения используем тот факт, что, согласно лемме 8.3а, представление приведено. В частности, отображение инъективно и как -пространства. Отсюда следует, что Согласно лемме и утверждению существует биекция между непростыми неразложимыми представлениями колчанов Отсюда, очевидно, вытекает утверждение ибо содержат конечное число классов изоморфизма простых объектов.

Сейчас мы в состоянии погасить задолженность, образовавшуюся при доказательстве предложения 8.5, где одно из утверждений не было обосновано.

Следствие. Пусть колчаны, обладающие свойством Тогда имеют одновременно конечный или бесконечный тип.

Доказательство. Ввиду того что колчаны либо одновременно являются ацикличными, либо оба содержат циклы. В последнем случае оба колчана имеют бесконечный тип в силу предложения 8.4. Если ацикличны, то предложение 8.6 обеспечивает существование такой последовательности вершин, что причем является источником в для Применяя несколько раз часть (iii) нашего предложения, мы видим, что одновременно имеют конечный или бесконечный тип.

Упражнения

(см. скан)