§ 20.4. Стандартные тождества

Стандартным полиномом степени называется полином

где сумма распространяется на все перестановки множества Уравнение называется стандартным тождеством степени

Последовательность стандартных тождеств можно рассматривать как все более слабые варианты закона коммутативности Действительно, Основная цель этого параграфа — доказать, что алгебра удовлетворяет тождеству Этот результат приводит к полезной характеризадии степени центральной простой алгебры. Для дальнейших ссылок отметим некоторые очевидные свойства стандартных тождеств.

Лемма a. (i) Стандартные полиномы равномерны и полилинейны.

(ii) Если перестановка множества то .

(iii) Если отображение, которое не является инъективным, то -нулевой полином.

Ввиду следствия 20.3а алгебра не удовлетворяет тождеству если С другой стороны, легко показать, что произвольная -мерная F-алгебра удовлетворяет тождеству при всех (см. упр. 2). В частности, алгебра удовлетворяет тождеству Возникающая брешь между числами заполняется важным результатом, впервые доказанным Амицуром и Левицким. Они показали, что алгебра удовлетворяет тождеству Мы приведем доказательство этого результата, основанное лишь на элементарных свойствах матриц.

Лемма Пусть поле нулевой характеристики и С — коммутативная F-алгебра. Если матрица удовлетворяет условию для всех то

Доказательство. Для доказательства нам потребуется следующий вариант тождеств Ньютона:

где полиномы с нулевыми свободными членами, и Набросок доказательства равенства (1) содержится в упр. 5. Ввиду того что можно считать, что Пусть X — множество коммутирующих переменных, такое, что существует сюръективный гомоморфизм F-алгебр . Определим сюръективный гомоморфизм F-алгебр следующим образом: Пусть такой элемент, что Ясно, что при Пусть корни характеристического многочлена матрицы в алгебраическом замыкании поля частных кольца Заметим, что Следовательно, в силу (1) и теоремы Гамильтона — Кэли

Так как полиномы без свободных членов и Кегф, то все слагаемые, за исключением лежат в ядре Следовательно,

Теорема Амицура — Левицкого. Алгебра удовлетворяет тождеству

Доказательство. Поскольку полином равномерен и полилинеен, то в силу леммы 20.3а достаточно доказать теорему в случае простого поля На самом деле можно считать, что поскольку гомоморфный образ кольца которое является подкольцом алгебры (Это рассуждение становится строгим, если иметь в виду очевидное обобщение предложения 20.1а на -алгебры.) Итак, ниже Пусть А — внешняя (или знакопеременная) F-алгебра на -мерном F-пространстве. Обозначим, как обычно, умножение в алгебре А следующим образом: —>хлу- Из определения алгебры А (см. упр. 6) следует, что , где при если и при множество элементов где является F-базисом пространства В частности, Подпространство является, очевидно, коммутативной подалгеброй алгебры А. Положим Мы можем рассматривать алгебру В как свободный -модуль с базисом который является базисом алгебры А. Тогда где

Воспользовавшись утверждением (iv) леммы а, легко показать индукцией по что

где суммирование ведется по всем последовательностям таким, что В частности, Если четно, то в силу леммы а

Таким образом, , где через для краткости мы обозначаем элемент В частности, и вообще если четно и Поэтому в силу при Тогда, согласно лемме т. е. в силу равенства Поскольку могут быть произвольными матрицами из то тождество на алгебре

Следствие. Если бесконечное поле, К — его расширение и то тогда и только тогда, когда алгебра удовлетворяет тождеству и не удовлетворяет тождеству

Это утверждение немедленно вытекает из предложения 20.3 и теоремы Амицура-Левицкого.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)