§ 11.4. Размерность
Геометрическое понятие размерности может быть перенесено в алгебраическую ситуацию благодаря использованию групп когомологий Хохшильда. Из топологии хорошо известно, что последовательность групп когомологий
-мерного многообразия обращается в нуль в размерностях, превышающих
в то время как
для подходящим образом подобранной области коэффициентов. Сходство в определениях и свойствах когомологий Хохшильда и топологических когомологий наводят на мысль, что аналогичное понятие размерности может оказаться плодотворным инвариантом для алгебр. Эта идея и составляет тему настоящего и двух последующих параграфов. В частности, мы покажем, что алгебры нулевой размерности — это в точности сепарабельные алгебры, которые изучались в гл. 10.
Начнем с одной полезной леммы, которая также может служить мотивировкой определения размерности.
Лемма. Пусть А есть R-алгебра, которая является проективным R-модулем. Предположим, что натуральное число
обладает свойством
для всех
-бимодулей
Тогда, если
для всех
-бимодулей
Доказательство. Ввиду очевидных индуктивных соображений достаточно доказать, что
для всех
В силу теоремы 11.2 имеется короткая точная последовательность
-бимодулей
такая, что
для всех
Это свойство бимодуля
с учетом условия леммы приводит к следующему отрезку соответствующей длинной точной последовательности:
Таким образом,
Определение. Пусть А — нетривиальная
-алгебра. Ее размерностью называется число
Если для любого
существует
-бимодуль
со свойством
то размерность
равна
Следует отметить, что под знаком
в этом определении стоит непустое множество, ибо
в частности,
поскольку алгебра
нетривиальна.
Пусть R-алгебра А удовлетворяет условию, что модуль
проективен. Тогда из предыдущей леммы вытекает, что если
для всех бимодулей
то
В заключение этого параграфа переформулируем условие того, что алгебра имеет размерность, не превосходящую двух, в более привычных терминах.
Элементами модуля
являются билинейные отображения
со свойством
т. е.
для всех х, у, z из А. Билинейное отображение, удовлетворяющее (1), называется системой факторов алгебры
со значениями в бимодуле
Такие отображения встречаются при изучении расширений групп и алгебр. Системы факторов вида
где
некоторое линейное отображение, называются расщепляющимися. Согласно определению 11.1а,
это система факторов
определяемая соотношением
Из леммы получаем следующий результат.
Следствие. Если алгебра А является проективным R-модулем, то
в том и только том случае, если каждая система факторов алгебры А со значениями в любом бимодуле
расщепляется.
Упражнение
(см. скан)