§ 7.4. Простые последовательности

В этом параграфе мы изучим свойства простых -последовательностей. В дальнейшем нам будет удобно обозначать класс всех простых -последовательностей, где через

Если модуль не является проективным, то согласно предложению 7.3.

-лемма для коротких последовательностей. Пусть

— коммутативная диаграмма гомоморфизмов модулей с точными строками. Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) если гомоморфизмы инъективны, то гомоморфизм также инъективен;

(ii) если гомоморфизмы сюръективны, то гомоморфизм также сюръективен.

Этот стандартный результат легко доказывается методом диаграммного поиска; мы предлагаем читателю провести рассуждения в качестве упражнения. Отметим также, что данный факт вытекает из «леммы о змее», которая будет установлена в § 11.3.

Лемма а. Пусть две -последовательности, причем последовательность 2 проста. Тогда если некоторый морфизм, то

Доказательство. Если то и тогда представляется в виде для некоторого Следовательно, ибо сюръективен. Но последнее противоречит тому, что простые последовательности не являются расщепляющимися.

Следствие а. Если то любой морфизм является изоморфизмом.

Доказательство. Пусть 2: где модуль неразложим. Если не является изоморфизмом, то

ограничение также не является изоморфизмом по -лемме для коротких точных последовательностей. Но тогда, согласно предложению 7.2, имеем для любого что противоречит лемме.

Чтобы внести ясность в наши дальнейшие рассуждения, введем в классе отношение предпорядка. Положим , если существует морфизм из в . Отношение оказывается транзитивным благодаря тому, что композиция морфизмов является морфизмом; существование тождественного морфизма обеспечивает его рефлексивность, т. е. свойство для любого .

Следствие Если то тогда и только тогда, когда (другими словами, и изоморфны).

Доказательство. Если существуют морфизмы то в силу следствия а композиции являются изоморфизмами. Но тогда также изоморфизмы. Обратное утверждение очевидно.

Наше доказательство показывает, что если , то любой морфизм из в является изоморфизмом.

Простая -последовательность называется минимальной, если она минимальна в классе в смысле отношения другими словами, если из следует, что . Последнее, согласно следствию сводится к тому, что из следует .

Следствие с. Если то минимальность равносильна тому, что любой морфизм в является изоморфизмом.

Доказательство. Если минимальна и некоторый морфизм, то , так что является изоморфизмом ввиду замечания, сделанного после доказательства следствия Обратное утверждение очевидно.

Имеется полезный аналог следствия с для морфизмов в -последовательности, которые не обязательно являются простыми.

Лемма Пусть минимальная последовательность Если последовательность не расщепляется, то любой морфизм из в является расщепляющейся инъекцией.

Доказательство. Так как последовательность не является расщепляющейся, то из леммы 7.3 вытекает существование

морфизма где Если — некоторый морфизм, то композиция является изоморфизмом в силу следствия с. Тогда если положить так что расщепляющаяся инъекция.

Факт существования минимальных простых -последователь-ностей очень важен. Для алгебр А ограниченного типа вопрос о существовании решается легко.

Лемма с. Предположим, что тип алгебры А ограничен числом Тогда каждое линейно упорядоченное подмножество в имеет не более неизоморфных элементов.

Доказательство. Пусть простые -последовательности, где Предположим, что для каждого имеется морфизм не являющийся изоморфизмом. Согласно -лемме для коротких точных последовательностей, ограничения также не являются изоморфизмами, И при в силу леммы а. Так как модули неразложимы и тип алгебры А ограничен числом то для всех Следовательно, по лемме

Предложение. Предположим, что А — алгебра ограниченного типа. Тогда если то существует минимальная последовательность со свойством

Этот результат очевидным образом вытекает из леммы с.

Упражнение

(см. скан)