§ 14.2. Когомологии и группы Брауэра

Результаты предыдущего параграфа позволяют получить когомологическую интерпретацию относительных групп Брауэра. Ее описание и составляет содержание этого параграфа.

Лемма. Пусть расширение Галуа с группой Галуа Если отображения удовлетворяющие условию коцикла, то тогда и только тогда, когда существует отображение такое, что

Доказательство. Пусть скрещенные произведения, описанные в предложении 14.1. Предположим, что существует изоморфизм Не ограничивая общности, можно считать, что для всех с Действительно, по теореме Нётер—Сколема гомоморфизм продолжается до автоморфизма а алгебры является изоморфизмом -алгебр и -пространств Применяя к равенству получим для всех Таким образом, так что существует элемент удовлетворяющий соотношению.

Так как пробегает группу то равенство (2) определяет требуемое отображение из С в Действительно,

так что условие (1) выполнено. Обратно, если существует отображение удовлетворяющее условию (1), то равенство (2) определяет изоморфизм -пространств Стандартное вычисление с использованием свойства (1) и определения умножения в скрещенных произведениях показывает, что для всех и Значит, изоморфизм F-алгебр.

Условие коцикла и условие (1) этой леммы можно интерпретировать как когомологические соотношения для подходящего бимодуля. Пусть расширение Галуа с соответствующей группой Мультипликативная группа становится -бимодулем, если задать действие группы на слева как тривиальное, а справа — как обычное действие автоморфизмов из на элементы из Точнее, если

Стандартная проверка показывает, что является -бимодулем с умножением на элементы из определенным равенством (3).

Модули когомологий, соответствующие бимодулю определяются так же, как и в за исключением того, что сложение в бимодуле записывается мультипликативно. Роль кольца R играет так что модули когомологий — в действительности просто абелевы группы. Мы упростим обозначения § 11.1: символы будут обозначать соответственно группы -коцепей, -коциклов, -кограниц и классов -когомологий. Для каждого класс когомологий будет обозначаться через

Так как групповая алгебра, то элементы группы можно отождествить с отображениями из как мы уже отмечали в § 11.1. При таком отождествлении первые три кограничных гомоморфизма приобретают вид:

для для отображения для отображения Следовательно, условие коцикла, накладываемое на отображение в точности означает, что Кроме того, условие (1) леммы эквивалентно утверждению о том, что откуда

Теорема. Если расширение Галуа с группой Галуа то отображение является групповым изоморфизмом между

В силу следствия 14.1 и леммы отображение является биекцией между Доказательству того, что групповой гомоморфизм, посвящен следующий параграф.

Тот факт, что групповой гомоморфизм, в частном случае был отмечен в упр. 5 § 9.2; если то Если а то в силу упр. 1 § 14.1 алгебры можно отождествить с соответствующими скрещенными произведениями где и Справедливость утверждения о том, что вытекает из упр. 5 § 9.2.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)