§ 17.6. Продолжение нормирований

В этом параграфе мы покажем, что нормирование локального поля однозначно продолжается на всякую конечномерную алгебру с делением над этим полем. Ниже мы предполагаем, что поле с нормированием удовлетворяющим условию треугольника, и конечномерная алгебра с делением над

Лемма а. Пусть конечномерное F-пространство с базисом Определим отображение из по формуле Тогда имеют место следующие утверждения.

Эти утверждения получаются стандартным образом с помощью неравенства треугольника.

Отображение называется равномерной нормой на относительно базиса Равномерная норма определяет функцию расстояния а индуцируемая ею топология на пространстве называется равномерной топологией.

Лемма Предположим, что кольцо компактно. Пусть конечномерное F-пространство. Определим на пространстве М равномерную норму относительно базиса Если отображение, удовлетворяющее условиям

(i) для всех только при

(iii) отображение непрерывно в равномерной топологии пространства

то существуют числа такие, что для всех

Доказательство. Множество компактно в равномерной топологии. Действительно, замкнутое подмножество множества и отображение гомеоморфизм между компактным пространством и множеством Ввиду условия для всех Поскольку отображение непрерывно и множество компактно, существуют числа с, такие, что для всех Пусть Выберем индекс так, чтобы Тогда для элемента т. е. Следовательно,

Из этой леммы, в частности, следует, что равномерная топология на конечномерном пространстве над локальным полем не зависит от базиса, используемого в ее определении.

Предложение. Пусть конечномерная алгебра с делением над локально компактным полем F с нормированием Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) нормирование однозначно продолжается до нормирования алгебры

алгебра локально компактна в -топологии;

(iii) если нормирование дискретно, то дискретно и нормирование и индекс делит число

Доказательство. Если тривиальное нормирование, то конечные поля, и утверждения теоремы очевидны. Предположим, что нетривиальное нормирование. Положим Определим отображение по правилу

Ясно, что гомоморфизм группы в группу Если то

Следовательно, отображение до продолжает В частности, если Воспользуемся леммой для доказательства того, что до — нормирование. Для этого нам потребуется непрерывность отображения до в равномерной топологии алгебры Пусть — базис пространства В силу леммы 16.3а существует полином такой, что

Из леммы вытекает, что отображение пространства в пространство F непрерывно, а отображение непрерывно по определению топологии поля Поэтому отображение до непрерывно. По лемме существуют числа такие, что до для всех Таким образом, если то до

Следовательно, до нормирование алгебры По лемме любые два продолжения нормирования и на алгебру определяют одну и ту же топологию и потому эквивалентны в силу леммы 17.4а. Но два эквивалентных продолжения нетривиального нормирования, очевидно, совпадают. Следовательно, нормирование до единственно. В силу леммы -топология на алгебре совпадает с равномерной топологией. Значит, замкнуто и ограничено в равномерной топологии. Поскольку поле F локально компактно, то его замкнутые ограниченные подмножества компактны. Это свойство имеет место и для равномерной топологии алгебры так как алгебра гомеоморфна произведению конечного числа экземпляров поля Следовательно, кольцо компактно, т. е. алгебра локально компактна. Из определения до вытекает, что отображение является инъективным гомоморфизмом группы в группу Если дискретное нормирование, то группа циклическая, и потому индекс группы в группе делит число

В дальнейшем мы будем обозначать через как нормирование поля так и его продолжение на конечномерную алгебру с делением над

Следствие. Если локальное поле и конечное расширение, то К — локальное поле.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)