§ 3.4. Матрицы гомоморфизмов

Прежде чем приступить к доказательству теорему Веддербёрна, введем полезные матричные обозначения.

Пусть А — некоторая -алгебра, а -последовательность правых -модулей. Обозначим через

множество всех -матриц

в которых

Сложение и умножение элементов из на скаляры определим покомпонентно, а умножение — обычной формулой перемножения матриц где

Предложение. -алгебра изоморфна

Доказательство. Обозначим через прямую сумму и пусть возникающие здесь гомоморфизмы проекции и вложения. Тогда

и

Далее, определим отображения с помощью формул Прямое вычисление, использующее (1) и (2), показывает, что отображение (За является тождественным преобразованием а отображение тождественным преобразованием Кроме того, а есть гомоморфизм -алгебр. Проверим, например, свойство мультипликативности. Используя (1), получаем

Таким образом, а — изоморфизм.

Следствие а. Пусть А — некоторая R-алгебра, правый -модуль. Тогда

Следствие Пусть А — некоторая R-алгебра и свободный правый -модуль с образующими. Тогда

Доказательство. Так как то, согласно следствию в то же время ввиду предложения

Следствие с. Пусть А — некоторая R-алгебра. Если такие правые -модули, что при то

Доказательство. Согласно предыдущему предложению, алгебра Ел изоморфна

Упражнение

(см. скан)