§ 11.6. Основная теорема
В качестве приложения теории когомологий докажем один из важнейших результатов теории ассоциативных алгебр.
Теорема (Веддербёрн, Мальцев). Пусть В — алгебра над
удовлетворяющая следующим условиям:
(b)
проективна как R-модуль
(c)
для некоторого
Тогда в В существует такая подалгебра А, что
как R-модули и
как алгебры. Если, кроме того, В удовлетворяет условию
то две любые подалгебры
в В, удовлетворяющие соотношению
связаны между собой следующим образом:
где
Доказательство. Существование
устанавливается индукцией по
Если
то имеетея единственный вариант — положить
Предположим, что
где
сокращенное обозначение радикала
и пусть
естественная проекция. Так как, согласно условию
-модуль
проективен, то точная последовательность
-модулей
расщепляется. Таким образом, существует такой гомоморфизм
-модулей
что
Для
положим
Ясно, что
измеряет степень отклонения х от гомоморфизма алгебр. Имеем
Действительно,
ибо
является гомоморфизмом алгебр и
Таким образом,
Используя
определим правое и левое действие алгебры
на
положив
В самом деле, поскольку х является гомоморфизмом
-модулей и
то может вызвать сомнение лишь выполнение тождеств
Но, согласно (1),
и
Аналогично,
Очевидно, что
билинейно. Кроме того,
Из (3) и условия
вытекает
т. е. существует
со свойством
для всех
Положим
Тогда
ибо
Кроме того,
поскольку
Отметим также, что из того, что 1 вытекает равенство
Таким образом,
является гомоморфизмом алгебр, а его образ
подалгеброй в В, удовлетворяющей условию
Предположим теперь, что
и утверждение теоремы, касающееся существования, доказано для алгебр, степень нильпотентности радикала которых меньше
Положим
Тогда
Таким образом,
удовлетворяет условиям
и
Учитывая, что случай
уже разобран, найдем подалгебру
такую, что
Пусть
где С — подалгебра в В, удовлетворяющая условию
Имеем следующий изоморфизм
-алгебр:
Кроме того,
Таким образом,
и С удовлетворяет условиям
и
причем
По предположению индукции в С существует такая подалгебра А, что
Следовательно,
, т. е.
Таким образом, та часть теоремы, которая касается существования, доказана. Для доказательства единственности предположим, что удовлетворяются условия
и что подалгебры
алгебры В удовлетворяют соотношению
Тогда имеются коммутативные диаграммы
в которых
обозначают канонические проекции, ассоциированные с разложениями
Заметим, что
являются гомоморфизмами алгебр; следовательно, гомоморфизмами являются и отображения
и Действительно, если
то
Определим на
структуру
-бимодуля при помощи соотношений
и
Аксиомы бимодуля выполняются благодаря тому, что
являются гомоморфизмами алгебр. Определим
равенством
Заметим, что
ввиду того, что
Следовательно,
Кроме того,
Таким образом, х является дифференцированием алгебры
со значениями в бимодуле
Так как
то дифференцирование
будет внутренним, т. е. существует
со свойством
для всех
Тогда
Так как
элемент
обратим и
Следствие. Если
совершенное поле, а
конечномерная F-алгебра, то в В существует такая подалгебра А, что
Кроме того, алгебра А определена однозначно с точностью до сопряжения обратимым элементом вида
Доказательство. Алгебра
является конечномерной полупростой алгеброй над совершенным полем. В силу следствия
она сепарабельна, и потому
согласно следствию 11.5а. Так как F является полем, то все F-модули проективны. Наконец,
для некоторого
в силу предложения 4.4. Таким образом, выполняются предположения
доказанной выше теоремы, применение которой
устанавливает следствие.
Упражнения
(см. скан)