§ 11.6. Основная теорема

В качестве приложения теории когомологий докажем один из важнейших результатов теории ассоциативных алгебр.

Теорема (Веддербёрн, Мальцев). Пусть В — алгебра над удовлетворяющая следующим условиям:

(b) проективна как R-модуль

(c) для некоторого

Тогда в В существует такая подалгебра А, что как R-модули и как алгебры. Если, кроме того, В удовлетворяет условию то две любые подалгебры в В, удовлетворяющие соотношению связаны между собой следующим образом:

где

Доказательство. Существование устанавливается индукцией по Если то имеетея единственный вариант — положить Предположим, что где сокращенное обозначение радикала и пусть естественная проекция. Так как, согласно условию -модуль проективен, то точная последовательность -модулей расщепляется. Таким образом, существует такой гомоморфизм -модулей что Для положим Ясно, что измеряет степень отклонения х от гомоморфизма алгебр. Имеем

Действительно, ибо является гомоморфизмом алгебр и Таким образом, Используя определим правое и левое действие алгебры на положив

В самом деле, поскольку х является гомоморфизмом -модулей и то может вызвать сомнение лишь выполнение тождеств Но, согласно (1), и Аналогично,

Очевидно, что билинейно. Кроме того, Из (3) и условия вытекает т. е. существует со свойством для всех Положим

Тогда ибо Кроме того, поскольку Отметим также, что из того, что 1 вытекает равенство Таким образом, является гомоморфизмом алгебр, а его образ подалгеброй в В, удовлетворяющей условию Предположим теперь, что и утверждение теоремы, касающееся существования, доказано для алгебр, степень нильпотентности радикала которых меньше Положим Тогда Таким образом, удовлетворяет условиям и Учитывая, что случай уже разобран, найдем подалгебру такую, что Пусть где С — подалгебра в В, удовлетворяющая условию Имеем следующий изоморфизм -алгебр:

Кроме того, Таким образом, и С удовлетворяет условиям и причем По предположению индукции в С существует такая подалгебра А, что Следовательно, , т. е. Таким образом, та часть теоремы, которая касается существования, доказана. Для доказательства единственности предположим, что удовлетворяются условия и что подалгебры алгебры В удовлетворяют соотношению Тогда имеются коммутативные диаграммы

в которых обозначают канонические проекции, ассоциированные с разложениями Заметим, что являются гомоморфизмами алгебр; следовательно, гомоморфизмами являются и отображения и Действительно, если то Определим на структуру -бимодуля при помощи соотношений и Аксиомы бимодуля выполняются благодаря тому, что являются гомоморфизмами алгебр. Определим равенством Заметим, что

ввиду того, что Следовательно, Кроме того, Таким образом, х является дифференцированием алгебры со значениями в бимодуле Так как то дифференцирование будет внутренним, т. е. существует со свойством для всех Тогда Так как элемент обратим и

Следствие. Если совершенное поле, а конечномерная F-алгебра, то в В существует такая подалгебра А, что Кроме того, алгебра А определена однозначно с точностью до сопряжения обратимым элементом вида

Доказательство. Алгебра является конечномерной полупростой алгеброй над совершенным полем. В силу следствия она сепарабельна, и потому согласно следствию 11.5а. Так как F является полем, то все F-модули проективны. Наконец, для некоторого в силу предложения 4.4. Таким образом, выполняются предположения доказанной выше теоремы, применение которой устанавливает следствие.

Упражнения

(см. скан)