ГЛАВА 18. Алгебры с делением над числовыми полями

Эта глава посвящена одному из наиболее глубоких и красивых результатов современной алгебры. Речь идет о классификации и описании центральных простых алгебр над полями алгебраических чисел. Построение этой теории связано с именами таких крупнейших математиков, как Хассе, Брауэр, Нётер и Алберт. Оно стало возможным благодаря развитию аппарата теории чисел в работах Кронекера, Вебера, Гильберта, Минковского, Фуртвенглера, Артина, Такаги, Хассе, Витта и многих других.

Мы не имеем возможности поместить в книге весь материал, необходимый для доказательства основных теорем. Вместо этого мы предпочли сформулировать некоторые результаты из теории полей классов и на основе этих глубоких теоретико-числовых фактов построить структурную теорию алгебр и получить их классификацию. Для алгебр с делением над полем рациональных чисел имеются элементарные доказательства некоторых теорем; наброски соответствующих рассуждений даны в упражнениях. Однако даже в этом простом случае для доказательства наиболее важных результатов необходимо использование теоретико-числового аппарата, который нельзя признать элементарным.

§ 18.1. Композиты полей

В предыдущей главе мы в двух случаях изучили вопрос о том, когда нормирование поля F можно продолжить на большее поле К. Было доказано, что такое продолжение существует и единственно в случае, когда К — пополнение поля F в -топологии, а также когда локальное поле и расширение конечно. Для целей этой главы нам необходим ответ на вопрос о продолжении нормирования поля F на конечное расширение К без дополнительных предположений о поле Используя композиты полей, мы сведем эту задачу к случаям, рассмотренным в предыдущей главе. В этом параграфе рассматриваются те вопросы теории композитов полей, которые требуются для решения задачи о продолжимости нормирования.

Пусть поля, содержащие F в качестве подполя. Композит полей над полем это тройка состоящая из поля содержащего и гомоморфизмов таких, что Два таких композита называются эквивалентными, если существует гомоморфизм F-алгебр такой, что В этом случае так что изоморфизм полей. Следовательно, эквивалентность композитов является симметричным отношением; нетрудно видеть, что оно также рефлексивно и транзитивно.

Лемма а. Пусть расширения, причем конечно и сепарабельно. Тогда где такое расширение, что Положим где и определим отображения следующим образом: Тройки попарно неэквивалентные композиты полей над и всякий композит над F эквивалентен одному из композитов

Доказательство. В гилу леммы и предложения 10.6а сепарабельная алгебра над полем В частности, она полупроста. Будучи коммутативной, в силу структурной теоремы Веддербёрна она имеет вид где каждое поле, содержащее Ясно, что отображения гомоморфизмы F-алгебр в алгебру Таким образом, композит полей над Если рассматривается как -пространство, структура которого индуцирована отображением то Предположим, что существует изоморфизм такой, что при Если то что противоречит тому, что изоморфизм. Таким образом, композит неэквивалентен композиту если Пусть композит полей Отображение изоморфизм F-алгебр, такой, что В частности, существует индекс такой что отображение является ненулевым гомоморфизмом F-алгебры в F-алгебру Следовательно, и если то

Аналогично, Следовательно, композит эквивалентен композиту

Лемма b. Пусть расширение Галуа с группой Галуа произвольное расширение. Пусть композит полей над Если то композит над Произвольный композит полей над F эквивалентен композиту при некотором

Доказательство. Очевидно, что для тройка композит. Для доказательства последнего утверждения воспользуемся обозначениями леммы а. Предположим, что Отображение является инъективным гомоморфизмом группы Если то отображение переставляет минимальные идеалы алгебры Следовательно, существует единственный индекс для которого В частности, так что для всех Аналогично, для всех изоморфизм -пространств. Пусть Так как отображение гомоморфизм, множество является подгруппой группы тогда и только тогда, когда Поэтому левые смежные классы по подгруппе находятся во взаимно однозначном соответствии с полями Пусть Тогда Если тождественный автоморфизм, для всех так что Следовательно, Таким образом, Поэтому каждое поле имеет вид при некотором Этот вывод вместе с леммой а доказывает последнее утверждение нашей леммы. Действительно, мы можем предполагать, что Если то следовательно, композит эквивалентен композиту

Композиты вообще говоря, не эквивалентны между собой. Действительно, композит эквивалентен композиту тогда и только тогда, когда

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)