Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема плотности Джекобсона часто рассматривается как обобщение структурной теоремы Веддербёрна на бесконечномерные алгебры. Однако она оказывается весьма полезным инструментом и в обсуждаемых вопросах о конечномерных алгебрах. В этом параграфе мы докажем один из вариантов теоремы плотности. Ее традиционная формулировка приведена в упр. 2.
Лемма. Пусть полупростой правый -модуль и Рассмотрим как правый -бимодуль. Если то существует элемент такой, что для
Доказательство. Согласно следствию является полупростым -модулем. Пусть В силу предложения 2.4 существует подмодуль модуля такой, что Пусть соответствующая проекция модуля на В силу следствия мы можем отождествить Ясно, что эндоморфизм модуля рассматриваемого как левый -модуль. Следовательно,
существует элемент такой, что Последнее означает, что для
Теорема плотности (Джекобсон). Пусть простой правый -модуль. Рассмотрим как левое -пространство, где алгебра с делением Если элементы линейно независимы над произвольные элементы из то существует элемент такой, что для
Доказательство. Поскольку модуль прост, то по лемме Шура алгебра с делением. В частности, есть -пространство и является полупростым и свободным -модулем. В силу предложения 2.4 и предположения о линейной независимости системы существует -подпространство пространства такое, что Определим с помощью условий для В силу предыдущей леммы существует элемент такой, что для