§ 12.2. Теорема плотности

Теорема плотности Джекобсона часто рассматривается как обобщение структурной теоремы Веддербёрна на бесконечномерные алгебры. Однако она оказывается весьма полезным инструментом и в обсуждаемых вопросах о конечномерных алгебрах. В этом параграфе мы докажем один из вариантов теоремы плотности. Ее традиционная формулировка приведена в упр. 2.

Лемма. Пусть полупростой правый -модуль и Рассмотрим как правый -бимодуль. Если то существует элемент такой, что для

Доказательство. Согласно следствию является полупростым -модулем. Пусть В силу предложения 2.4 существует подмодуль модуля такой, что Пусть соответствующая проекция модуля на В силу следствия мы можем отождествить Ясно, что эндоморфизм модуля рассматриваемого как левый -модуль. Следовательно,

существует элемент такой, что Последнее означает, что для

Теорема плотности (Джекобсон). Пусть простой правый -модуль. Рассмотрим как левое -пространство, где алгебра с делением Если элементы линейно независимы над произвольные элементы из то существует элемент такой, что для

Доказательство. Поскольку модуль прост, то по лемме Шура алгебра с делением. В частности, есть -пространство и является полупростым и свободным -модулем. В силу предложения 2.4 и предположения о линейной независимости системы существует -подпространство пространства такое, что Определим с помощью условий для В силу предыдущей леммы существует элемент такой, что для

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)