ГЛАВА 5. Неразложимые модули

В этой главе мы приступаем к изучению более общих алгебр, чем полупростые. Мы постараемся обобщить схему рассуждений, при помощи которых была получена структурная теорема Веддербёрна. Заменой простых модулей, которые играли роль основных строительных блоков этой теории, будут служить неразложимые модули. Они вводятся в настоящей главе. Имеется аналог леммы Шура, которая характеризует неразложимые модули в терминах их алгебр эндоморфизмов. Основной результат главы — теорема Крулля — Шмидта. Она показывает, что конечно порожденные модули над артиновой алгеброй единственным образом разлагаются в прямую сумму неразложимых. Коротко говоря, результаты гл. 2 имеют соответствующие аналоги в теории модулей над артиновыми алгебрами.

§ 5.1. Прямые разложения

В этой главе через А обозначается некоторая -алгебра. Коммутативное кольцо R играет при этом незначительную роль и, как правило, не будет упоминаться.

А-модуль называется неразложимым, если его единственными прямыми слагаемыми являются и т. е. из условия вытекает, что либо либо Модуль называется разложимым, если где ненулевые модули. Таким образом, нулевой модуль не относится ни к разложимым, ни к неразложимым модулям.

Предложение. Пусть некоторый -модуль, являющийся либо артиновым, либо нётеровым. Тогда он представляется в виде прямой суммы неразложимых -модулей.

Доказательство. Если то предложение справедливо ввиду нашего соглашения о том, что пустая сумма равна 0. Предположим, что Заметим сначала, что (1) существует неразложимое прямое слагаемое модуля Действительно, если модуль является минимальным ненулевым слагаемым модуля то он обязательно неразложим. Его существование

очевидно, если модуль артинов; если же нётеров, то требуемым свойством обладает произвольное дополнение к максимальному прямому слагаемому. Используя тот факт, что свойства нетеровости и артиновости наследуются подмодулями, и применяя несколько раз утверждение (1), получим

где каждый модуль неразложим и Если эта последовательность разложений стабилизируется на шаге, то и в этом случае Существование такого следует либо из условия обрыва убывающих цепей (примененного к последовательности либо из условия обрыва возрастающих цепей (примененного к последовательности

Упражнения

(см. скан)