ГЛАВА 14. Когомологии Галуа

Явное вычисление группы Брауэра поля обычно является чрезвычайно сложной задачей. В этой главе мы развиваем технику, на основе которой в принципе возможно вычислить группу Брауэра для произвольного поля Ключевые результаты этой программы таковы: где объединение берется по всем расширениям Галуа (следствие 13.5); (2) группа изоморфна -второй группе когомологий группы на которой определенным образом задана структура -бимодуля (теорема 14.2); (3) изоморфизм в (2) поднимается до изоморфизма группы с прямым пределом где максимальное сепарабельное расширение F (теорема 14.6). Группа одна из групп когомологий Галуа поля Чтобы помочь читателю выбраться из этого болота формализма, мы поместим в качестве приложения к теореме 14.2 доказательство того, что периодическая группа.

Как и гл. 9 и 11, эта глава в значительной степени ориентирована на описание технических конструкций: групп когомологий, прямых и обратных пределов и когомологий Галуа. Нужно быть поистине необыкновенным читателем, чтобы испытывать вдохновение при изучении изложенных здесь результатов. Теоремы этой главы не таковы, чтобы вызывать энтузиазм. Однако они служат в высшей степени важным инструментом современных исследований в теории центральных простых алгебр. Единственный известный в настоящее время способ построения групп Брауэра произвольных полей состоит в использовании этой техники. Более того, через когомологии Галуа устанавливается связь между теорией центральных простых алгебр и теорией полей классов, что приводит к глубоким теоремам о группах Брауэра локальных полей и полей алгебраических чисел. Эти теоремы относятся к числу наиболее глубоких результатов в современной алгебре.