ГЛАВА 20. Многообразия алгебр

В заключительной главе мы вновь обратимся к общей теории алгебр над полями. В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе — теорема Амицура — Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского — Амицура о примитивных -алгебрах.

§ 20.1. Полиномиальные тождества и многообразия

F-алгебра А является коммутативной, если разность равна нулю для всех элементов Другой способ дать это определение состоит в следующем: полином из свободной алгебры (с некоммутирующими переменными принадлежит ядру любого гомоморфизма алгебры в алгебру А. Определение полиномиальных тождеств получается с помощью обобщения этой идеи.

Пусть множество некоммутирующих переменных. Алгебра слов над полем F от символов множества есть сверточная алгебра свободного группоида, порожденного множеством У. Конструкция алгебры дана в § 1.2, где также показано, что свободная F-алгебра на множестве У: произвольное отображение множества в -алгебру А продолжается однозначно до гомоморфизма F-алгебр Элементами алгебры являются некоммутативные полиномы от переменных из множества с коэффициентами из - поля Как обычно, мы будем обозначать эти полиномы большими буквами греческого алфавита; Для того чтобы различать коммутирующие и

некоммутирующие переменные, мы будем придерживаться в этой главе следующих соглашений: жирными буквами индексами) будем обозначать коммутирующие, а жирными буквами у — некоммутирующие переменные. Если гомоморфизм F-алгебр и то образ полинома относительно обозначается через где Интуитивно можно считать, что получается подстановкой элементов вместо в выражение

Определение. Полином или уравнение называется полиномиальным тождеством на F-алгебре А, если для всех гомоморфизмов

Другими словами, для всех В этом случае мы будем говорить, что алгебра А удовлетворяет полиномиальному тождеству или

Предложение а. Для подмножества определим как класс всех F-алгебр, на которых при всех Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) если — инъективный гомоморфизм F-алгебр, то

(ii) если — сюръективный гомоморфизм F-алгебр, то

Доказательство. Предположим, что Если гомоморфизм инъективен и произвольный гомоморфизм, то для всех так как алгебра А удовлетворяет тождествам Следовательно, в силу инъективности Таким образом, и алгебра В удовлетворяет тождествам Поэтому Пусть гомоморфизм сюръективен. Поскольку алгебра свободна, каждый гомоморфизм этой алгебры в алгебру В можно представить в виде где гомоморфизм алгебры в алгебру Поэтому и алгебра В удовлетворяет тождествам при всех т. е. Наконец, пусть где Если гомоморфизм проекции и то Следовательно,

что доказывает утверждение (iii).

Класс алгебр, обладающий свойствами (i), (ii) и (iii) предложения а, называется многообразием алгебр. Класс всех F-алгебр является наибольшим многообразием алгебр, класс, состоящий из тривиальных алгебр — наименьшее многообразие алгебр. Многообразие называется нетривиальным, если оно содержит нетривиальную алгебру.

Предложение а показывает, что каждое множество полиномов определяет многообразие. Наша главная цель в этом параграфе — более точно указать связь между многообразиями и полиномиальными тождествами.

Предложение Пусть У — множество некоммутирующих переменных. Для класса F-алгебр определим как множество всех полиномов являющихся тождествами для всех алгебр Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) - идеал алгебры

(ii) если эндоморфизм алгебры то

Доказательство этого утверждения состоит в стандартном применении определений. Оно предлагается читателю в качестве упр. 1.

Идеал алгебры В над полем F называется -идеалом, если для всех эндоморфизмов алгебры В. Как мы увидим позже, соответствие между многообразиями и -идеалами биективно. Для доказательства этого утверждения необходимы некоторые полезные предварительные данные.

Предложение с. Пусть нетривиальное многообразие F-алгебр. Для каждого множества некоммутирующих переменных положим Пусть гомоморфизм проекции. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) - нетривиальная F-алгебра, принадлежащая 2);

(ii) ограничение инъективно, и множество порождает как F-алгебру,

(iii) если Лей и некоторое отображение, то продолжается однозначно до гомоморфизма F-алгебр

Доказательство. Если алгебра Лей нетривиальна, то полиномы ; не являются тождествами на если Отсюда следует, что ограничение инъективно. Кроме того, не является нулевой алгеброй, если Если же то Поскольку множество порождает алгебру и отображение сюръективно, порождает алгебру По определению идеала

существует подмножество гомоморфизмов алгебры в различные алгебры такое, что Ядро гомоморфизма определенного по правилу совпадает с так что он индуцирует инъективный гомоморфизм алгебры в алгебру Таким образом, поскольку многообразие. Пусть отображение. Тогда отображение продолжается до гомоморфизма алгебры в алгебру и идеал содержится в ядре этого гомоморфизма, так как Отсюда следует, что гомоморфизм пропускается через задавая гомоморфизм такой, что В частности, продолжение заданного отображения множества

Алгебра называется свободной -алгеброй на порождающем множестве У. Мы будем часто отождествлять множество с его образом в алгебре

Следствие а. Пусть — многообразие F-алгебр. Если А — алгебра над полем F и каждая конечно порожденная подалгебра алгебры А принадлежит , то

Доказательство. Пусть такое множество переменных, что существует сюръективный гомоморфизм Если то подалгебра алгебры порожденная множеством удовлетворяет тождеству в частности, Следовательно, алгебра удовлетворяет тождеству Это рассуждение показывает, что Поэтому гомоморфизм пропускается через проекцию В частности, существует сюръективный гомоморфизм алгебры на алгебру Так как многообразие и в силу предложения с то

Теорема. Пусть множество переменных. Соответствия являются обращающими включения отображениями подмножеств алгебры в многообразия и классов F-алгебр в -идеалы алгебры Имеют место следующие утверждения:

(i) , и равенство имеет место тогда и только тогда, когда является -идеалом;

(ii) , и если множество бесконечно, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда — многообразие.

Доказательство. В силу предложений единственное, что нуждается в доказательстве, — это части "если" в утверждениях Предположим, что множество является -идеалом в алгебре Мы хотим показать, что где гомоморфизм проекции. Это утверждение можно получить, доказав, что поскольку Пусть и предположим, что Для каждой переменной выберем полином такой, что Продолжим отображение до эндоморфизма алгебры По построению Так как множество является -идеалом, то

Следовательно,

Это показывает, что если является -идеалом. Предположим, что многообразие -алгебр. Воспользовавшись следствием а и предложением с, покажем, что в случае бесконечного У. Можно считать, что — нетривиальное многообразие, в противном случае тривиально. Пусть Если В — конечно порожденная подалгебра алгебры то в силу бесконечности существует сюръективный гомоморфизм алгебры в алгебру В. Из того что следует где отображение проекции и сюръективный гомоморфизм. Поскольку многообразие и в силу предложения с, то Поэтому ввиду следствия

Следствие Пусть -бесконечное множество переменных, класс F-алгебр. Тогда имеют место следующие утверждения.

(i) - наименьший -идеал алгебры содержащий W;

(ii) — наименьшее многообразие -алгебр, содержащее

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Мы будем называть многообразием, порожденным классом Согласно следствию это многообразие не зависит от множества У, за исключением того, что должно быть бесконечно. Для упрощения обозначений будем писать вместо Другая характеризация многообразия дана в упр. 3. Если алгебра принадлежит многообразию то называется порождающей алгеброй многообразия

Следствие с. Если многообразие F-алгебр и -бесконечное множество переменных, то порождающая алгебра многообразия

Доказательство. Если то каждая конечно порожденная подалгебра алгебры А является гомоморфным образом алгебры Таким образом, согласно следствию Включение вытекает непосредственно из теоремы.

Упражнения

(см. скан)