§ 19.9. Пример Амицура

Результаты и конструкции двух последних параграфов будут теперь применены для построения алгебры с делением обладающей замечательным свойством: все ее максимальные подполя — расширения Галуа поля и их группы Галуа изоморфны. Эта конструкция принадлежит Амицуру. Алгебра будет использована в § 20.8 при доказательстве существования алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями.

Теорема. Предположим, что алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Пусть последовательность простых чисел, которые не обязательно различны. Положим

где автоморфизм алгебры определенный по правилу примитивный корень степени из единицы) и для Тогда F-алгебра есть алгебра с делением с центром степени Если К — максимальное подполе алгебры то расширение Галуа и

Утверждения получаются из примера 19.7 с помощью индукции. Оставшуюся часть параграфа занимает доказательство утверждения о том, что расширение Галуа и Это утверждение получается с помощью сложного, но непосредственного анализа строения расширения с использованием предложения Мы будем использовать для таких вычислений аналог логарифмического отображения.

Лемма. Существует групповой гомоморфизм такой, что

Доказательство. Определим отображение с помощью индукции по Если то пусть Если и отображение с требуемыми свойствами уже построено, то

определим для элемента

по формуле

В соответствии с определением и Если

то

Следовательно,

поскольку

Если мы модифицируем наши обозначения, формулы упростятся. Положим Для положим если число четно, и в противном случае. Пусть так что

В силу предложения произвольное максимальное подполе К алгебры является расширением поля которое имеет вид

где переменные связаны с переменными соотношениями

при Показатели степеней в соотношениях (2) удовлетворяют неравенствам причем Кроме того,

Гомоморфизм преобразует соотношения (2) в матричное уравнение

где — диагональная матрица

и матрица определяется условием Поскольку элементы вектора независимы, Поэтому а — верхняя треугольная матрица

и

Так как целые числа, причем простое число, то из равенств (4) следует, что или при

Пусть наименьшее общее кратное чисел Следовательно, также и

Положим В этих обозначениях

Кроме того, Следовательно, Последнюю систему уравнений с целыми коэффициентами можно использовать для обращения произведения (2). В результате будем иметь

Формально это можно обосновать, применив непосредственно к (2) тождество

Положим Так как то из (6) следует, что

Мы покажем по индукции, что

Базой индукции является тривиальный случай Предположим, что равенство (8) имеет место при Из (2) и определения элементов следует, что Чтобы показать справедливость обратного включения, мы должны доказать, что где

В силу . Если то все доказано. В противном случае ввиду равенств (4). Тогда Из (5) следует, что

Тогда равенство (8) вытекает из (6) и леммы 19.8а.

Положим Из соотношений (3) и (4) вытекает, что где перестановка чисел Применяя равенство (8), получим

Действительно, равенство есть частный случай равенства (8) при Кроме того, если то силу (2) (поскольку

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы. В силу Из (7) следует, что или 1 (см. упр. 2 § 15.5). Так как

должны иметь место равенства для всех и Следовательно, в силу предложения Поскольку и в поле содержится примитивный корень степени из 1, то расширение циклическое степени при всех В силу леммы 15.3а расширение Галуа с

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 19

Материал § 19.1 стандартен. В упр. 4 этого параграфа мы упомянули о работах Витта и Амицура по общим полям разложения. Результаты § 19.3 — стандартные факты теории коммутативных колец. На наше изложение оказали влияние лекции профессора Виланда. Изложение материала § 19.2 и 19.4 близко к книге Гринберга [38], § 19.5 является расширенным вариантом небольшой части статьи [12] Ауслендера и Брюмера. Текст § 19.6 — это модифицированный вариант статьи Накаямы [58]. Наконец, последние три параграфа настоящей главы в значительной мере следуют изложению Джекобсона [48] статьи Амицура [5] 1972 г.