§ 17.7. Ветвление

Пусть дискретное нормирование алгебры с делением Если -подполе алгебры такое, что ограничение нетривиально, то подгруппа конечного индекса группы Порядок конечной циклической группы называется индексом ветвления поля К в алгебре (относительно нормирования и обозначается через Если алгебра называется неразветвленным расширением поля Пусть естественный гомоморфизм кольца на тогда Поэтому отображение вложения индуцирует инъективный гомоморфизм колец Для нас удобно будет отождествлять поле с подполем в В этом случае, в частности, кольцо можно рассматривать как правое -пространство, размерность которого называется относительной степенью алгебры над полем К (относительно нормирования Относительная степень алгебры над К обозначается через По определению является неотрицательным числом или Цель этого параграфа — установить некоторые основные свойства индекса ветвления и относительной степени в случае, когда локальное поле, а алгебра конечномерная алгебра с делением над В следующих леммах условие локальной компактности не требуется.

Лемма а. Пусть конечномерная алгебра с делением над полем Если нетривиальное дискретное нормирование алгебры то ограничение нетривиально, конечномерная алгебра и

Доказательство. Если ограничение тривиально, то где X — базис алгебры Из предположения вытекает, что отображение ограничено. Но нетривиальные нормирования, очевидно, не ограничены. Поэтому ограничение нетривиально. Мы уже отмечали, что является подполем алгебры с делением

если отождествить его с подкольцом кольца Так как то алгебра над полем Остается показать, что Для упрощения обозначений положим Пусть униформизующая нормирования униформизующая ограничения Тогда В частности, если естественный гомоморфизм, то и есть -пространство. В силу леммы 17.5 имеем следующие изоморфизмы Следовательно, Если элементы В таковы, что линейно независимы над то линейно независимы над В противном случае Для некоторого индекса где что противоречит линейной независимости системы так как тогда Следовательно,

Лемма Пусть дискретное нормирование алгебры с делением Предположим, что К — подполе алгебры такое, что ограничение нетривиально и Если униформизующая нормирования то -пространство плотно в

Доказательство. Пусть с униформизующая нормирования Тогда Поскольку нормирование дискретно (следовательно, единственная предельная точка множества то достаточно показать, что для каждого существует элемент такой, что Пусть где Если где то Следовательно, Из предположения следует, что т. е. откуда для подходящих элементов Пусть Тогда

Докажем теперь основной результат этого параграфа.

Предложение. Пусть алгебра с делением над бесконечным полем Предположим, что дискретное нормирование такое, что поле F замкнуто в локально компактна в -топологии. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) F - локальное поле и ;

(ii) в алгебре существует подполе К, такое, что неразветвлено, ;

(iii) если то и К — максимальное подполе алгебры

Доказательство. Из предположения о замкнутости поля F в алгебре вытекает, что множество замкнуто в компактном пространстве Следовательно, локальное поле и ограничение нетривиальное нормирование, так как поле F бесконечно. В силу предложения алгебры являются конечными полями. В частности, для некоторого элемента Пусть -унитарный полином степени такой, что минимальный полином элемента х над Любой такой полином неприводим над полем В противном случае из леммы Гаусса, примененной к области главных идеалов (упр. 7 § 17.5), следовало бы, что в кольце в кольце что противоречило бы неприводимости полинома Так как поле совершенно и полином неприводим, то полиномы взаимно просты. Поэтому ввиду леммы Гензеля существует элемент такой, что Если то -подполе алгебры причем что влечет за собой По лемме существует подпространство модуля которое плотно в алгебре причем Так как, согласно лемме 17.6b, -топология пространства совпадает с равномерной топологией, то пространство полно. Следовательно, Ввиду леммы а Кроме того, и расширение неразветвлено. Предположим, что В силу предложения поскольку К — подполе алгебры Следовательно, так как

Первое следствие из предыдущего предложения играет решающую роль в теории алгебр с делением над локальными полями.

Следствие а. Пусть локальное поле. Если алгебра с делением, то существует максимальное подполе К алгебры такое, что расширение неразветвлено.

Следствие Пусть башня локальных полей, где конечное расширение. Тогда

(ii) поле К можно выбрать так, чтобы расширение было неразветвлено и

Индекс подгруппы в группе является произведением индексов подгрупп соответственно в группах так что независимо от того, являются локальными полями или нет. Остальные утверждения следствия вытекают из предыдущего предложения.

Заключительное следствие дает описание локальных полей характеристики нуль.

Следствие с. Поле F характеристики нуль локально тогда и только тогда, когда оно является конечным расширением поля для некоторого простого числа

Доказательство. Если расширение конечно, то F локально ввиду следствий и 17.6. Пусть локальное поле и Ограничение является нетривиальным; в противном случае естественный гомоморфизм —~ вкладывал бы поле в конечное поле По теореме 17.3 ограничение эквивалентно нормированию для некоторого простого числа и ввиду следствия 17.4а замыкание поля в поле F изоморфно полю Из предложения вытекает, что конечное расширение поля

Другая характеристика локальных полей характеристики нуль будет дана в упр. 3 § 17.8.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)