покажем, что этот функтор точен для сепарабельных алгебр и только для них.
Лемма. Пусть А — некоторая R-алгебра. Тогда
как R-модули для любого правого
-модуля
причем изоморфизм осуществляется отображением
Для любого
Ношле
диаграмма
Нотде
Нотле
коммутативна.
Доказательство. Если
то
для всех
Следовательно,
т. е.
Ясно, что
является гомоморфизмом
-модулей. Если
то
для всех
ибо
является гомоморфизмом
-бимодулей. Таким образом, гомоморфизм
инъективен. Если и
то
является гомоморфизмом бимодулей
и
Таким образом,
изоморфизм. Коммутативность рассматриваемой диаграммы эквивалентна тому, что
Предложение. R-алгебра А является сепарабельной в том и только том случае, если функтор
точен.
Суть данного предложения состоит в том, что сепарабельность алгебры
эквивалентна справедливости следующего утверждения: если гомоморфизм
сюръективен, то
Согласно лемме, это утверждение равносильно тому факту, что сюръективный гомоморфизм
-модулей
индуцирует сюръективный гомоморфизм
Нотле
задаваемый правилом
предложению
последнее условие эквивалентно утверждению о том, что
является проективным
-модулем, что по определению означает сепарабельность
-алгебры
Наибольший интерес для нас представляет применение нашего предложения к
-бимодулям
некоторого специального вида.
Пример. Пусть
правые
-модули. Определим умножение элементов из
справа и слева на элементы из
формулами
Стандартные вычисления показывают, что относительно этих операций
становится
-бимодулем, причем, очевидно,
Следствие а. Предположим, что А — сепарабельная R-алгебра. Тогда любой правый
-модуль
проективный как R-модуль, проективен и как
-модуль.
Доказательство. Пусть
сюръективный гомоморфизм правых
-модулей. Ввиду проективности
как
-модуля и предложения
отображение
является сюръективным гомоморфизмом из
Из предположения о том, что
является гомоморфизмом
следует, что
является гомоморфизмом бимодулей;
Далее, из предыдущего примера и предложения вытекает, что гомоморфизм Нотд
сюръективен. Но тогда
проективен как Л-мо-дуль.
Следствие
Любая сепарабельная F-алгебра является полупростой.
Поскольку векторные пространства являются проективными модулями, из следствия а вытекает проективность любого правого модуля над сепарабельной
-алгеброй
Следовательно, алгебра
полупроста в силу следствия
Упражнения
(см. скан)