§ 10.4. Категорные свойства

Характеризация проективных модулей, содержащаяся в предложении приводит к другому описанию сепарабельных алгебр. Из этого результата легко получается соотношение между сепарабельными и полупростыми алгебрами. Пусть некоторый -бимодуль. Положим

Если рассматривать как правый -модуль, то по лемме где пополнение Очевидно, что является -подмодулем в причем если Другими словами, соответствие поднимается до функтора из категории Л-би-модулей в категорию -модулей, если определить его действие на морфизмы так: переходит в ограничение Стандартная проверка показывает, что этот функтор является точным слева, т. е. из точности последовательности вытекает точность последовательности Мы

покажем, что этот функтор точен для сепарабельных алгебр и только для них.

Лемма. Пусть А — некоторая R-алгебра. Тогда как R-модули для любого правого -модуля причем изоморфизм осуществляется отображением Для любого Ношле диаграмма

Нотде Нотле

коммутативна.

Доказательство. Если то для всех Следовательно, т. е. Ясно, что является гомоморфизмом -модулей. Если то для всех ибо является гомоморфизмом -бимодулей. Таким образом, гомоморфизм инъективен. Если и то является гомоморфизмом бимодулей и Таким образом, изоморфизм. Коммутативность рассматриваемой диаграммы эквивалентна тому, что

Предложение. R-алгебра А является сепарабельной в том и только том случае, если функтор точен.

Суть данного предложения состоит в том, что сепарабельность алгебры эквивалентна справедливости следующего утверждения: если гомоморфизм сюръективен, то Согласно лемме, это утверждение равносильно тому факту, что сюръективный гомоморфизм -модулей индуцирует сюръективный гомоморфизм Нотле задаваемый правилом предложению последнее условие эквивалентно утверждению о том, что является проективным -модулем, что по определению означает сепарабельность -алгебры

Наибольший интерес для нас представляет применение нашего предложения к -бимодулям некоторого специального вида.

Пример. Пусть правые -модули. Определим умножение элементов из справа и слева на элементы из формулами

Стандартные вычисления показывают, что относительно этих операций становится -бимодулем, причем, очевидно,

Следствие а. Предположим, что А — сепарабельная R-алгебра. Тогда любой правый -модуль проективный как R-модуль, проективен и как -модуль.

Доказательство. Пусть сюръективный гомоморфизм правых -модулей. Ввиду проективности как -модуля и предложения отображение является сюръективным гомоморфизмом из Из предположения о том, что является гомоморфизмом следует, что является гомоморфизмом бимодулей;

Далее, из предыдущего примера и предложения вытекает, что гомоморфизм Нотд сюръективен. Но тогда проективен как Л-мо-дуль.

Следствие Любая сепарабельная F-алгебра является полупростой.

Поскольку векторные пространства являются проективными модулями, из следствия а вытекает проективность любого правого модуля над сепарабельной -алгеброй Следовательно, алгебра полупроста в силу следствия

Упражнения

(см. скан)