§ 19.3. Теорема Крулля

В следующем параграфе будет дано доказательство теоремы Тзена — центрального результата этой главы. Ключевой шаг ее доказательства опирается на одну стандартную теорему алгебраической геометрии.

Предложение. Пусть алгебраически замкнутое поле. Пусть формы положительной степени. Если то существует вектор такой, что

Геометрический подход к доказательству этого предложения использует понятие размерности алгебраических множеств: множество общих нулей форм либо пусто, либо содержит компоненту размерности но это множество нулей содержит 0, если формы положительной степени.

Для придания этому рассуждению надлежащей строгости потребовалось бы привести значительное число геометрических определений и теорем. Другой путь к доказательству предложения связан с теоремой Крулля о высоте. Именно этот подход мы и изберем.

Теорема о главных идеалах (Крулль). Пусть ненулевой элемент коммутативной нётеровой области целостности Если минимальный элемент множества простых идеалов кольца содержащих то не существует ненулевого простого идеала этого кольца, такого, что

Доказательство. Пусть К — поле частных области Положим Стандартное рассуждение показывает, что нётерово локальное подкольцо в К с единственным максимальным идеалом а На языке теории коммутативных колец кольцо является локализацией области R относительно простого идеала Из того что минимальный простой идеал, содержащий следует, что единственный простой идеал кольца которому принадлежит Предположим, что простой идеал области такой, что Легко проверяется, что Эта конструкция позволяет нам ограничиться рассмотрением локальных колец. Нам будет удобно возвратиться к исходным обозначениям, добавив предположение о том, что единственный максимальный идеал области Следовательно, Так как минимальный простой идеал, содержащий элемент то факторкольцо обладает единственным простым идеалом который является максимальным. Отсюда следует, что кольцо

(см. часть упражнения из § 4.5). Доказательство будет завершено, если мы получим противоречие, предположив, что существует простой идеал такой, что Рассмотрим локализацию области R относительно идеала положим Таким образом, локальное кольцо и Положим Ясно, что цепь идеалов области Кроме того,

В самом деле, так как идеал кольца С другой стороны, если то при некотором следовательно, и Мы имеем также

Действительно,

так как из следует Применяя свойство артиновости (1) к цепи получаем существование такого что Свойство модулярности дает тогда в силу (3). Поскольку область нётерова, то из леммы Накаямы вытекает, что В силу равенства Повторное применение леммы Накаямы дает Это равенство приводит к противоречию так как область целостности.

Результат, который нам нужен, является индуктивным обобщением теоремы о главных идеалах.

Теорема Крулля о высоте. Пусть элементы коммутативного нётерова кольца Предположим, что минимален среди простых идеалов кольца содержащих множество Если строго возрастающая цепь простых идеалов кольца то

Максимальная длина таких цепей простых идеалов называется высотой идеала

Доказательство. Можно предполагать, что область целостности и в противном случае достаточно вместо кольца R рассмотреть кольцо Переходя к локализации мы можем также считать, что кольцо R локально и Если то из теоремы о главных идеалах следует, что Рассуждая по индукции, предположим, что Поскольку кольцо R нётерово, можно считать, что не существует простого идеала между и Так как идеал минимален среди простых идеалов, содержащих множество то один из элементов не принадлежит идеалу например Поэтому единственный простой идеал в кольце В силу упражнения из § 4.5 кольцо артиново.

Так как то ввиду предложения при некотором В частности, если то

Поскольку кольцо R нётерово, то существует простой идеал который минимален относительно свойства

часть упражнения из § 4.5). Мы покажем, что что идеал минимален среди простых идеалов, содержащих множество В силу индуктивного предположения будем тогда иметь Поскольку простой идеал кольца то равенство будет следовать из теоремы о главных идеалах, если мы покажем, что идеал является минимальным среди простых идеалов, содержащих Если простой идеал кольца такой, что Следовательно, при поскольку простой идеал. Минимальность среди простых идеалов, содержащих множество влечет за собой тогда Следовательно, минимальный среди простых идеалов кольца содержащих

В доказательстве нашего предложения используется также теорема Гильберта о нулях. Поскольку эта теорема содержится в большинстве университетских учебников по алгебре, то мы не будем ее доказывать (впрочем, см. упр. 3, где рассматривается один ее частный случай).

Теорема о нулях. Пусть где алгебраически замкнутое поле. Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) всякий максимальный идеал кольца R имеет вид для подходящих элементов

(ii) всякий простой идеал кольца является пересечением максимальных идеалов.

Доказательство предложения. Положим Из теоремы Гильберта о базисе следует нётеровость кольца Так как каждый полином однороден, то Заметим, что строго возрастающая цепочка простых идеалов. Так как по предположению то из теоремы Крулля о высоте следует, что идеал не является минимальным среди простых идеалов, содержащих множество Поэтому из теоремы о нулях следует существование такого вектора что Следовательно,

Упражнения

(см. скан)