§ 19.4. Теорема Тзена

Теперь мы готовы к доказательству основного результата главы.

Теорема. Если поле F алгебраически замкнуто и К — алгебраическое расширение поля то К — квазиалгебраически замкнутое поле.

Доказательство. В силу предложения 19.2 достаточно доказать, что к. а. з. полем является поле Пусть однородный полином положительной степени причем Можно предполагать, что коэффициенты полинома лежат в кольце в противном случае достаточно форму заменить формой где с — произведение

знаменателей коэффициентов формы Пусть — наибольшая из степеней коэффициентов полинома Введем новые переменные где число будет выбрано немного позже. Положим

Подставим полиномы вместо и представим получившуюся форму как полином от

где в силу леммы 19.1 каждый полином однороден степени Число переменных уравно Если то, согласно предложению 19.3, существует вектор такой, что

Поскольку условие будет выполнено, если положить

Пусть силу равенств причем так

Следствие а. Если К — алгебраическое расширение поля где алгебраически замкнутое поле, то

Следствие а вытекает из предыдущей теоремы и теоремы 19.2.

Следствие Для произвольного поля F имеем,

Доказательство. Пусть -алгебраическое замыкание поля Если то в силу следствия а. В силу предложения существуют полиномы такие, что поле расщепляет алгебру Пусть -поле, порожденное над F коэффициентами полиномов Тогда расширение конечно, поскольку поле алгебраично над и из следует, что поле расщепляет алгебру А.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)