§ 10.7. Сепарабельные алгебры над полями

Критерий сепарабельности -алгебр, содержащийся в следствии 10.6, обычно оказывается неудобным для применений. В этом параграфе мы приведем другие условия, которые сводят проблему выявления сепарабельных алгебр к рассмотрению конечных расширений полей.

Лемма а. Пусть А — некоторая R-алгебра и подкольцо в Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) если А сепарабельна как -алгебра, то она сепарабельна и как R-алгебра,

(ii) если А сепарабельна как R-алгебра, сепарабельна как -алгебра, то А сепарабельна как -алгебра.

Доказательство. Обе части леммы доказываются применением предложения 10.4. Ясно, что -бимодули являются также и -бимодулями. Таким образом, если сепарабельная -алгебра и сюръективный гомоморфизм -бимодулей, то откуда следует сепарабельность как R-алгебры. Для доказательства (ii) рассмотрим некоторый -бимодуль Тогда является -бимодулем, а, согласно предложению 10.5 с, Мявляется -бимодулем, причем Если сюръективный гомоморфизм -бимодулей, то является также и гомоморфизмом -бимодулей. Ввиду сепарабельности R как алгебры над 5 из предложения 10.4 получаем, что Это значит, что ограничение ляется сюръективным гомоморфизмом -бимодулей. Еще раз применяя предложение 10.4, получаем желаемый результат

Таким образом, -сепарабельная -алгебра.

Лемма Поле А является сепарабельным расширением поля F в том и только том случае, если А — сепарабельная F-алгебра.

Доказательство. Пусть конечное сепарабельное расширение. Тогда является простым расширением т. е. При этом минимальный полином элемента с над F сепарабелен. Для доказательства того, что сепарабельная -алгебра, используем критерий из следствия 10.6. Пусть поле произвольное расширение Согласно примеру -алгебра изоморфна Ввиду сепарабельности полином раскладывается в в произведение различных неприводимых полиномов По китайской теореме об остатках имеем изоморфизм

Таким образом, алгебра является конечной прямой суммой полей и потому полупроста. Поэтому из следствия 10.6 вытекает сепарабельность алгебры Предположим теперь, что расширение не является сепарабельным. Тогда характеристика поля F должна быть простым числом Кроме того, множество состоящее из тех элементов поля которые сепарабельны над является собственным подполем в и расширение чисто несепарабельно. Так как конечномерна, то содержится в максимальном собственном подполе К поля Если , то в силу максимальности Минимальный полином элемента над имеет единственный корень, равный ибо расширение чисто несепарабельно. Таким образом, минимальный полином элемента над К имеет вид для

некоторого показать, что на самом деле Согласно примеру 9.4, алгебра имеет ненулевой радикал. Поэтому из следствий и 10.5 вытекает, что А не является сепарабельной -алгеброй. Значит, по лемме а не является также и сепарабельной

Следствие а. Пусть А — сепарабельная F-алгебра. Тогда если К — подполе центра то расширение является сепарабельным.

Доказательство. Пусть некоторое расширение. Согласно следствию алгебра изоморфна -подалгебре центра алгебры Ввиду полупростоты последней (по следствию ее центр не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Таким образом, является коммутативной конечномерной -алгеброй без нильпотентных элементов. Поэтому полупроста. В силу следствия 10.6 К является сепарабельной -алгеброй, и следствие вытекает из леммы

Предложение. F-алгебра А является сепарабельной в том и только том случае, если она изоморфна прямой сумме где каждая из алгебр является конечномерной простой F-алгеброй, для которой расширение сепарабельно.

Доказательство. Если алгебра сепарабельна, то она полупроста и поэтому, согласно структурной теореме Веддербёрна, обладает разложением где простые алгебры. Согласно предложению 10.5b, каждая из алгебр является сепарабельной над так что Хорошо известно (и будет доказано в гл. 12), что центр простой алгебры является полем. Поэтому расширение является сепарабельным согласно следствию а. Для доказательства обратного утверждения воспользуемся еще одним результатом из гл. 12: любая конечномерная простая -алгебра А является сепарабельной -алгеброй. Этот факт вместе с леммами дает сепарабельность над алгебр . А тогда и алгебра сепарабельна над в силу предложения

Следствие Пусть совершенное поле. Тогда F-алгебра А сепарабельна в том и только том случае, когда она конечномерна и полупроста.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)