Предисловие

Цель данного вводного курса состоит в том, чтобы обеспечить переход от традиционных курсов по дифференциальным уравнениям и классической механике к быстро развивающимся областям нелинейной динамики и хаоса и представить «старые» и «новые» концепции в едином широком контексте.

Такой подход к изложению обусловлен тем, что многие студенты физических и инженерных специальностей (с соответствующим базовым образованием по дифференциальным уравнениям и классической механике), стремящиеся освоить новые интересные результаты, связанные с хаосом в динамических системах, склонны иногда считать, что эта «новая» область знаний существенно отличается от «старых» курсов. Я полагаю, что более полное понимание «новых» идей может быть достигнуто, если рассматривать их как естественное развитие «старых». Один из способов подчеркнуть эту преемственность основан на использовании уравнений движения Гамильтона. Эти фундаментальные уравнения классической механики создают естественную основу для обсуждения динамики (в фазовом пространстве) систем дифференциальных уравнений, которые могут проявлять как регулярное, так и хаотическое поведение. Большое внимание уделено концепции интегрируемости, поскольку прочное ее усвоение существенно углубляет понимание динамики неинтегрируемых систем и значение фундаментальной КАМ-теоремы. Эта концепция лежит также в основе изложения интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных и динамики солитонов в заключительных главах книги.

Первые четыре главы, а именно «Динамика дифференциальных уравнений», «Динамика гамильтоновых систем», «Классическая теория возмущений» и «Хаос в гамильтоновых системах и сохраняющие площадь отображения» составляют ядро книги; уровень изложения вполне доступен способным студентам старших курсов и начинающим аспирантам и предполагает наличие знаний, лишь немного выходящих за рамки стандартных курсов по дифференциальным уравнениям и классической механике. Конечно, определенную часть материала, составляющего содержание этих глав, можно найти в других книгах и обзорах, но цель (и надежда на ее достижение) состояла в том, чтобы изложить «старые» и «новые» понятия с единой точки зрения. При этом гамильтонова динамика изложена во второй главе хотя и «традиционным» образом, но с определенным «геометрическим» уклоном. Для этого в главу включено приложение «Геометрические представления в классической механике», связанное с основным текстом посредством ряда подстрочных примечаний. Оно призвано помочь студентам по возможности безболезненно перейти (если они хотят этого) от «традиционного» к «геометрическому» формализму механики.

Основное содержание большинства недавно появившихся прекрасных книг по хаосу и нелинейной динамике составляют диссипативные динамические системы. По приведенным выше соображениям данный курс посвящен в основном хаосу в гамильтоновых системах. Тем не менее для полноты изложения в книгу включена одна глава (глава 5), посвященная диссипативной динамике. По возможности подчеркнута взаимосвязь с динамическими концепциями предыдущих глав, а также с реальными задачами гидродинамики.

Последние три главы представляют собой попытку показать широту и разнообразие проблем нелинейной динамики. Уровень изложения по сравнению с

предыдущими главами несколько повышается; предполагаются знания в рамках курсов элементарной квантовой механики (главы 6 и 7) и теории функций комплексной переменной (глава 8). Глава 6 служит введением в современное изучение возможных взаимосвязей между классическим хаосом и соответствующим квантовомеханическим поведением систем в «квазиклассическом пределе». Глава 7 посвящена динамике нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе и интегрируемых уравнений, обладающих солитонными решениями. На первый взгляд может показаться, что изучение хаоса и солитонов взаимно исключает друг друга, поскольку в первом случае речь идет о свойствах неинтегрируемых, тогда как во втором — о свойствах интегрируемых систем. Мне, однако, представляется весьма важным совместное изучение этих концепций. Существенно продвинуться в понимании реальных физических задач, связанных с пространственно-временным хаосом (таких, как гидродинамическая турбулентность) можно, лишь изучая одновременно хаос и интегрируемость как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае дифференциальных уравнений в частных производных.

Последняя глава «Аналитическая структура динамических систем» вводит читателя в круг идей другой современной области исследований, связанной с попытками отыскать общность в труднообозримом разнообразии свойств обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных — независимо от того, интегрируемы они или нет — путем анализа особенностей их решений в комплексной области.

Книга может быть использована для чтения двухсеместрового курса, в котором материал общего характера первых четырех или пяти глав излагается в первом семестре; второй семестр посвящается более специальным темам, изложенным в последних трех главах. При этом необходимо учитывать, что по своему замыслу книга в значительной степени рассчитана на прочтение в целом. Разделы и подразделы, помеченные звездочкой, содержат более сложный материал или технические детали и при первом чтении могут быть опущены, что не нарушит связности изложения.

Необходимо подчеркнуть, что книга не является исчерпывающим, даже с современной точки зрения, обзором по хаосу. В соответствии с этим я старался включать в рассмотрение только хорошо обоснованные физические модели и соответствующие ссылки. Число публикаций чрезвычайно возросло за последние годы, и я не пытался составить полную библиографию (задача на данном этапе практически нереальная). Поэтому я приношу свои извинения тем многочисленным авторам, чьи блестящие работы здесь не упомянуты.

Мне особенно приятно поблагодарить моих аспирантов Франка Кариелло, Джоел Чекен и Грегори Левина за их существенную помощь в подготовке рукописи. Ни одну из глав я не считал завершенной без их скрупулезного анализа и конструктивной критики. Если окажется, что в глазах студенческой аудитории эта книга имеет какие-либо достоинства, то в немалой степени этому способствовали их старания.

Наконец, я хочу поблагодарить В. Г. Льюиса за помощь в подготовке рисунков и Луизу Винтер за героические усилия по переписке рукописи.

М. Табор Нью-Йорк Ноябрь 1988