6.2. Метод ВКБ и условия квантования Бора-Зоммерфельда

Применение формализма, к рассмотрению которого мы приступаем, не ограничивается рамками квантовомеханических задач; он также широко используется при решении (линейных) дифференциальных уравнений, сингулярно зависящих от малого параметра. Рассмотрим, например, простую краевую задачу

с граничными условиями Нетрудно показать, что точное решение имеет вид

(при условии в пределе это решение теряет смысл. Понятно, что этот сингулярный предел значительно затрудняет решение уравнений и более общего вида

где некая нетривиальная функция от Наиболее конструктивная процедура (предшествовавшая ВКБ) была разработана Рэлеем, Джефри и др., которые показали,

что решение может быть представлено в виде экспоненты от ряда по степеням а именно

(Блестящее обсуждение этого метода дано в [5].)

6.2.а. Разложение ВКБ

В настоящем разделе мы сосредоточим внимание на квантовомеханических вопросах, в рамках которых в качестве малого параметра выступает величина Рассмотрим вначале одномерное не зависящее от времени уравнение Шрёдингера

и произведем подстановку

где представляет собой ряд

Подставляя (6.2.5) в (6.2.4) и приравнивая последовательно степени получаем иерархию уравнений:

Вспоминая, что для двух первых уравнений легко находим решения

и

где с — постоянная интегрирования, а некоторая начальная точка на траектории. Для также можно легко получить соответствующие выражения, но их громоздкость быстро возрастает. Исходя из (6.2.8) и (6.2.9), находим вид приближенной волновой функции, соответствующей первому порядку по

где два корня (6.2.8) задают два линейно независимых решения уравнения (6.2.4), которые в виде линейной комбинации с произвольными константами образуют общее решение (6.2.10). В областях, где положительны; такие области известны как классически разрешенные. Области, в которых называются классически запрещенными, в них имеют мнимые значения. Такие области в классической механике не имеют смысла, а в квантовой механике соответствуют областям, через которые может осуществляться «туннелирование». Очевидно, что решение (6.2.10) разрушается в окрестности классических точек возврата в которых Плотность вероятности становится здесь очень большой. Это согласуется с классической интуицией, согласно которой частицу вероятнее всего можно обнаружить в тех областях, в которых она проводит больше времени, а именно вблизи точек возврата (где движение наиболее медленное). Расходимость решений (6.2.10) в точках возврата не является непреодолимой проблемой; для отыскания решений, гладко переходящих из разрешенной области в запрещенную без расходимостей была разработана замечательная математическая техника, известная как равномерные приближения. Важный аналог таких классических расходимостей существует в геометрической оптике. Это каустики, которые соответствуют объединению лучей, приводящему к появлению очень интенсивных точек или областей, как это наблюдается, например, при фокусировании (света). Понятие каустик будет играть существенную роль при дальнейшем обсуждении свойств квазиклассических волновых функций.