7.4.г. Более общие решения

Результат, полученный для такого «двухсолитонного» потенциала, легко обобщается для любого потенциала вида В случае такого потенциала, имеющего связанных состояний с собственными значениями асимптотическое решение имеет вид

где сдвиг фазы 6 задается соотношением

(кликните для просмотра скана)

Такое решение называется N-салитонным решением. При начальное условие превращается в цепочку бегущих уединенных волн, в которой самая глубокая волна располагается впереди, а самая мелкая — позади всех. Единственным результатом взаимодействия таких волн, когда пробегает значения от до является сдвиг фазы

Мы идентифицировали солитоны, рассматривая пределы решений при . Но точное -солитонное решение может быть также записано в общем виде:

где собственные функции связанных состояний с собственными значениями

В случае потенциалов с отражением наличие непрерывной области квантового спектра сделает точное решение уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко невозможным. Но в общих чертах картина сохраняется, и в пределе начальное условие распадается, образуя процессию уединенных бегущих волн. Вклад непрерывной области проявляется в появлении осциллирующей составляющей решения, которая исчезает при Иногда это явление называют излучением. Закономерности этой составляющей решения изучены мало, хотя имеется ряд асимптотических оценок. Обсуждение некоторых результатов можно найти, например, в [1] или [3]. (Во второй работе приведен также простой пример.)