6.7. Квантовые отображения: квантование с использованием замкнутых траекторий

Как отмечалось в разделе 6.4, для неинтегрируемых гамильтонианов не существует «прямых» условий квантования типа условий ЭБК. Однако разработан альтернативный квазиклассический метод, основанный на использовании классических замкнутых траекторий системы, начало которому было положено в работе [41]. Его изложение для гамильтоновых систем общего вида представляет собой значительные сложности. С этой точки зрения квантовые отображения служат простой основой для обсуждения основных идей. Вначале мы дадим обзор необходимых квантовомеханических предпосылок.

6.7.а. Предварительные сведения из квантовой механики

Частица с массой в потенциальном поле удовлетворяет уравнению Шрёдингера

где образуют полный набор собственных функций (занумерованных с помощью некоторого вектора квантовых чисел, обозначенного через с соответствующими собственными значениями Квантовомеханическая плотность состояний определяется соотношением

т. е. каждому собственному значению соответствует пик -функции. Функция Грина (пропагатор) для (6.7.1) удовлетворяет уравнению

и может быть представлена в «билинейном виде»

Вычисляя «след» функции Грина (т.е. полагая равным и интегрируя по всем находим

Воспользовавшись формальным соотношением

(где — главное значение Коши), запишем

тогда переход к пределу дает

Ниже мы увидим, что в квазиклассическом пределе можно представить в терминах классических путей, соединяющих и что операция вычисления следа «отбирает» только замкнутые траектории системы.