1.2.а. Эллиптические функции Якоби
Первый интеграл для (1.2.4) может быть легко представлен в виде
Для удобства перепишем это выражение следующим образом:
Правая часть может быть факторизована,
и затем преобразована (см. приложение 1.1) к каноничному виду (Лежандра)
Рассмотрение эллиптических функций может показаться в чем-то «старомодным». Но на более глубоком уровне связанная с ними алгебраическая геометрия позволяет глубже проникнуть в суть понятия «интегрируемость». Эти идеи будут обсуждаться в дальнейших главах, главным образом в главе 8.
Интегрирование последнего уравнения приводит к выражению
правая часть которого называется эллиптическим интегралом первого рода и часто обозначается как 
(очевидно, что в пределе 
это выражение сводится просто к функции 
Эквивалентное выражение может быть получено с помощью преобразования 
С эллиптическими интегралами связана обширная терминология (чтобы не перегружать изложение, обсуждение эллиптических интегралов второго и третьего родов вынесено в приложение 1.1); к числу наиболее важных понятий относятся:
1) 
— модуль;
2) 
- дополнительный модуль;
3) 
- полный эллиптический интеграл первого рода;
4) 
- дополнительный полный интеграл первого рода.
Эллиптические функции Якоби обратны по отношению к интегралу (1.2.11) (или 1.2.10). Введем величину
Эллиптическая функция, обозначаемая символом 
определяется как
Существуют и другие эллиптические функции — например, функция, обозначаемая символом 
определяется следующим образом:
Аналогия с тригонометрическими функциями 
по-видимому, ясна, так же как определение обратных эллиптических функций,
Существует множество сбивающих с толку соотношений и тождеств, включающих эллиптические функции; некоторые из них приведены в приложении. Здесь мы коснемся лишь свойств, связанных с их периодичностью. Периоды определяются с помошью введенного выше полного эллиптического интеграла; интеграл К играет роль, аналогичную числу 
в случае тригонометрических функций, т. е.
Дополнительный полный интеграл 
(точнее, 
играет роль, аналогичную периоду 
гиперболических функций 
:
Таким образом, эллиптические функции являются двоякопериодическими, т. е. имеют как действительный, так и мнимый периоды.
