1.2.а. Эллиптические функции Якоби

Первый интеграл для (1.2.4) может быть легко представлен в виде

Для удобства перепишем это выражение следующим образом:

Правая часть может быть факторизована,

и затем преобразована (см. приложение 1.1) к каноничному виду (Лежандра)

Рассмотрение эллиптических функций может показаться в чем-то «старомодным». Но на более глубоком уровне связанная с ними алгебраическая геометрия позволяет глубже проникнуть в суть понятия «интегрируемость». Эти идеи будут обсуждаться в дальнейших главах, главным образом в главе 8.

Интегрирование последнего уравнения приводит к выражению

правая часть которого называется эллиптическим интегралом первого рода и часто обозначается как

(очевидно, что в пределе это выражение сводится просто к функции Эквивалентное выражение может быть получено с помощью преобразования

С эллиптическими интегралами связана обширная терминология (чтобы не перегружать изложение, обсуждение эллиптических интегралов второго и третьего родов вынесено в приложение 1.1); к числу наиболее важных понятий относятся:

1) — модуль;

2) - дополнительный модуль;

3) - полный эллиптический интеграл первого рода;

4) - дополнительный полный интеграл первого рода.

Эллиптические функции Якоби обратны по отношению к интегралу (1.2.11) (или 1.2.10). Введем величину

Эллиптическая функция, обозначаемая символом определяется как

Существуют и другие эллиптические функции — например, функция, обозначаемая символом определяется следующим образом:

Аналогия с тригонометрическими функциями по-видимому, ясна, так же как определение обратных эллиптических функций,

Существует множество сбивающих с толку соотношений и тождеств, включающих эллиптические функции; некоторые из них приведены в приложении. Здесь мы коснемся лишь свойств, связанных с их периодичностью. Периоды определяются с помошью введенного выше полного эллиптического интеграла; интеграл К играет роль, аналогичную числу в случае тригонометрических функций, т. е.

Дополнительный полный интеграл (точнее, играет роль, аналогичную периоду гиперболических функций :

Таким образом, эллиптические функции являются двоякопериодическими, т. е. имеют как действительный, так и мнимый периоды.