7.5.б. Уравнение sin-Гордона

Очень важным нелинейным у. ч. п. является уравнение sin-Гордона

Это уравнение, возникающее в различных задачах дифференциальной геометрии, а также различные способы его решения, были известны еще в прошлом столетии. Позднее оно нашло применение в релятивистской теории поля. Уравнение (7.5.9) удобно изучать в переменных

в которых оно преобразуется к виду

Периодичность функции и привносит ряд интересных свойств. Если уравнение (7.5.9) линеаризовать (т. е. разложить в ряд с точностью до членов первого порядка) в окрестности решения то получим выражение

для которого, как легко показать, дисперсионное соотношение имеет вид

Оно действительно для всех действительных , и, тем самым, является устойчивой точкой равновесия. Это едва ли может вызвать большое удивление, так как, опустив пространственную зависимость в (7.5.9), мы получим уравнение маятника . С другой стороны, если (7.5.9) разложить относительно решения

то дисперсионное соотношение будет иметь вид

Оно свидетельствует о том, что решение неустойчиво при Такой результат также согласуется со свойствами пространственно-независимой задачи.

Решая задачу бегущей волны (т.е. полагая после первого интегрирования приходим к квадратуре

где первая постоянная интегрирования. В частном случае q = 0 (7.5.16) легко вычисляется; в результате получаем

и, следовательно,

Это решение может иметь различный вид в зависимости от выбора знаков. Если оба знака положительны, возрастает слева направо от нуля до значения (рис. 7.3). Такое решение называется кинком. Решение, амплитуда которого убывает от до нуля, называют антикинком. Хотя на первый взгляд эти решения довольно значительно отличаются от солитонов, производные этих решений имеют

Рис. 7.3. (а) Кинк . (б) Антикинк

характерную форму

Кинки (и антикинки) ведут себя при столкновении так же, как солитоны: после столкновения они появляются вновь, и единственное изменение состоит в сдвиге фазы. Двухкинковое решение, обладающее таким свойством, было получено с помощью обычного метода разделения переменных Перрингом и Скирмом [20]. (Эта работа предшествовала работе Крускала с соавторами, но в то время значение полученных результатов не было понято в полной мере.) Решение (подробности см. в [3]) имеет вид

В пределах получаем

и

где мы ввели сдвиг фазы

Поведение этого решения схематически показано на рис. 7.4.

Другое частное решение уравнения -Гордона можно получить с помощью автомодельного преобразования. Заметим, что (7.5.11) инвариантно по отношению к преобразованиям Подстановка где дает

Последующая замена переменной приводит к

что представляет собой частный случай уравнения Пенлеве третьего типа.