4.3. Неподвижные точки и теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке

Неподвижной точкой (X отображения является такая точка, для которой

Понятно, что в случае периодической траектории, отображающей последовательность итераций таким образом, что каждая из точек неподвижна по отношению к где означает последовательных отображений Т:

Обсуждая в главе 1 динамику в фазовой плоскости, мы видели, что неподвижные точки являются удобными «организующими» центрами. Действительно, анализ неподвижных точек в случае отображений мало отличается от наших предыдущих

результатов; существенное отличие состоит в том, что свойство сохранять площадь налагает существенные ограничения на возможные типы неподвижных точек.

4.3.а. Касательное отображение

Рассмотрим некоторое отображение действие которого мы символически запишем как

Оно может представлять собой преобразование вида (4.2.7). Предположим для простоты, что имеет неподвижную точку в начале координат на фазовой плоскости: Линеаризуя в окрестности этой точки стандартным способом, мы получаем (линейное) отображение, часто называемое касательным отображением:

(так, например, в случае и т.д.). Тип неподвижной точки определяется собственными значениями (4.3.4):

Эти собственные значения находятся как решения квадратного уравнения

которое мы запишем в виде

Поскольку преобразование сохраняет площадь (т. е. ), корни вычисляются просто как

Существует три возможности в зависимости от значений :

1. представляют собой комплексно сопряженную пару, лежащую на единичной окружности:

2. ; собственные значения являются действительными числами, удовлетворяющими соотношению

3. ; собственные значения равны

Используя стандартные методы линейной алгебры, мы всегда можем перейти к представлению, которое диаганализует (4.3.4):

где для данной матрицы преобразования А

Теперь мы легко можем интерпретировать все три различные возможности для собственных значений.