6.7.в. Пропагатор квантового отображения

Исходным является «одношаговый» пропагатор от задаваемый соотношением (6.6.11). Для формирования «-шагового» пропагатора (переводящего систему из состояния в состояние необходимо вычислить -мерный интеграл

В пределе это можно сделать с помощью широко известного метода стационарной фазы. Это один из наиболее важных для квазиклассических задач методов, и читателям настоятельно рекомендуется обратиться к приложению 6.1, в котором дано его начальное изложение. Для того, чтобы понять, каким образом обсуждаемый

метод используется для вычисления (6.7.17), рассмотрим прежде всего «двухшаговый» пропагатор

В пределе экспоненциальный член сильно осциллирует везде за исключением точки стационарности фазы, определяемой условием

в котором использованы «производящие» соотношения (6.6.5). Это условие выполняется в том случае, если точка принадлежит классическому пути, соединяющему точки и Мы обозначим эту точку как Следующий шаг в приближении стационарной фазы состоит в вычислении амплитуды (см. приложение 6.1)

Дифференцируя соотношение получаем по правилу дифференцирования сложной функции

и отсюда

Мы использовали здесь классическое правило, основанное на аддитивности действия вдоль классического пути:

Используя полученные результаты, находим квазиклассическое приближение для (6.7.18):

где классическое действие вдоль (классического) пути от Повторные применения метода стационарной фазы к (6.7.17) дают квазиклассическое приближение для -шагового пропагатора:

При этом предполагается, что классический путь нигде не проходит через каустики, т. е. что нет дополнительных фазовых множителей.