7.5.г. Общая схема ОПР

Как говорилось в начале этого параграфа, ОПР для приведенных здесь уравнений отличается от ОПР для уравнения КдФ. Соответствующие схемы были разработаны Захаровым и Шабатом [21] и Абловицем с соавт. [19]. В данном случае соответствующая задача на собственные значения представляет собой двухкомпонентную систему уравнений

где потенциалы, собственное значение. Заметим, что при сводится к уравнению Шрёдингера Соответствующая зависящая от времени часть задачи имеет общий вид

где различные функции от и спектрального параметра Определение точного вида к С для конкретных уравнений, приведенных в этом разделе, является, вообще говоря, не единственной трудностью. Мы, однако, опускаем детали и отсылаем читателя к [1].

В случае уравнения -Гордона, положив приходим к задаче рассеяния

и

Нетрудно убедиться, что эти уравнения представляют собой пару Лакса для уравнения -Гордона, поскольку «условие интегрируемости»

будет удовлетворяться только при условии, что (т. е. деформация изоспектральна) и

В случае нелинейного уравнения Шрёдингера задача рассеяния представляет собой пару уравнений

где означает комплексное сопряжение, и

Условием интегрируемости для этой системы является

Оказывается, что уравнение со знаком минус в правой части не может привести к солитонным решениям; подходит только знак плюс.

Для уравнения задача рассеяния представляет собой пару

и

для которой условие интегрируемости записывается в виде

В этом случае солитонные решения существуют при любом выборе знака.

Для этой системы было найдено уравнение типа Гельфанда-Левитана-Марченко, однако его решение оказывается очень нетривиальным. К тому же основная задача на собственные значения (7.5.27) может иметь (в отличие от уравнения Шрёдингера решения, соответствующие парам комплексно-сопряженных собственных значений. Такие солитонные решения имеют осциллирующий характер и получили название бризеров или бионов.