ПРИЛОЖЕНИЕ 4.1. Поверхность сечения как симплектическое отображение

Характерное свойство поверхностей сечения консервативных систем с двумя степенями свободы, состоящее в сохранении площади, наиболее элегантно представляется на геометрическом языке, введенном в приложении 2.2.

Из инвариантности -формы Пуанкаре-Картана следует (см. уравнение (2.П.29))

где две произвольные замкнутые кривые, охватывающие один и тот же пучок траекторий в фазовом пространстве. Если обе кривые соответствуют сечениям постоянного времени, для кривой для кривой (которую теперь мы обозначим через вклад члена равен нулю, и мы приходим к результату (4.1.9) (или к уравнению а именно

Ограничимся теперь двумя степенями свободы и рассмотрим -форму «начальную» кривую определим как множество начальных условий в плоскости при и фиксированной энергии Таким образом, С представляет собой кривую, состоящую из точек поверхности сечения. Под действием гамильтонова потока эти точки будут перемещаться, образуя «пучок» траекторий в рассмотренном фазовом пространстве . В случае ограниченного движения этот пучок в конечном итоге снова пересечет поверхность сечения при Но при этом нет никаких оснований полагать, что для всех точек пучка это произойдет в одно и то же время. Поэтому, хотя повторные пересечения пучка с поверхностью сечения образуют некоторую замкнутую кривую, скажем 6, это не будет кривая «постоянного времени» типа фигурировавшей в Следовательно, мы должны рассмотреть инвариант Пуанкаре-Картана (4.П.1), а именно

При этом отметим, что для семейства траекторий на данной энергетической поверхности

Помимо этого, поскольку кривые определены в плоскостях, для которых значение у фиксировано

Таким образом, остается соотношение

смысл которого как раз и состоит в том, что площадь на поверхности сечения сохраняется под действием гамильтонова потока. Это дает нам в случае системы с двумя степенями свободы основание говорить о поверхности сечения как о сохраняющем площадь отображении.

Если имеется более чем 2 степени свободы, то общая идея остается той же самой, но «поверхность сечения» в этом случае представляет собой -мерную поверхность, погруженную в -мерную энергетическую поверхность (консервативного гамильтониана с степенями свободы). Если «поверхность» задается при то обобщается в виде

По аналогии с вклад членов при интегрировании как по так и по равен нулю. В результате получаем

В этом случае интегралы соответствуют уже не просто площади, а площадям проекций на различные -плоскости (см. (2.П.50)):

где различные проекции различные проекции Мы убеждаемся, таким образом, что поверхность сечения является симплектическим отображением.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)