1.3.а. Фазовый портрет маятника

Вначале рассмотрим фазовый портрет маятника. Чтобы согласовать обозначения, вместо в (1.2.23) будем писать х и у соответственно. Поскольку речь идет о системе первого порядка, уравнения движения имеют вид

и им соответствует первый интеграл

Ряд чисто физических соображений подсказывает, каким образом может быть нарисован фазовый портрет. При малых значениях энергии колебания маятника около точки равновесия будут почти линейны. Понятно, что в этом режиме фазовый портрет будет представлять собой набор кривых с центром в этой точке. С ростом энергии финитные колебания маятника будут возрастать по амплитуде до тех пор, пока он (нить предполагается «жесткой») не «перевалит» через верхнюю точку и не начнет свободно вращаться, увеличивая скорость вращения с дальнейшим ростом энергии. Эта критическая точка достигается тогда, когда маятник обладает достаточной энергией, чтобы преодолеть весь путь, отвечающий изменению угла от состояния покоя до эта энергия равна Точка в которой (т. е. маятник «стоит на голове»), является точкой равновесия, но, естественно, неустойчивого. Далее, вследствие периодичности возвращающей силы нарисованная картинка должна повторяться с периодом вправо и влево от точки Таким образом, каждая из точек является точкой устойчивого равновесия, в то время как точки неустойчивого равновесия. Заметим, что в точках неустойчивого равновесия происходит переход от колебательного движения к вращательному, что проявляется в размыкании траекторий (соответствующих неограниченному вращательному движению). В целом фазовый портрет приобретает вид, представленный на рис. 1.4. Пара фазовых траекторий, разделяющих колебательное и вращательное движения и пересекающихся в точках неустойчивого равновесия, называется сепаратрисой.

Легко получить аналитическое описание движения вдоль сепаратрисы. Энергия в этом случае равна так что модуль принимает значение как следствие, бесконечность периода, вычисленного согласно (1.2.31):

Теперь, если воспользоваться удобным тождеством (см. приложение 1.1), то искомое решение (1.2.30) принимает вид (где мы используем

Рис. 1.4. Фазовые траектории маятника (1.3.1). Точкам устойчивого равновесия отвечают координаты а точкам неустойчивого равновесия — координаты обозначение

Поскольку достижение точек неустойчивого равновесия требует, очевидно, бесконечно большого времени (т. е. осуществляется экспоненциально медленно). Этот результат, конечно, полностью согласуется с бесконечностью периода (1.3.3).