6.3.б. ЭБК-квантование

Мы снова ищем волновую функцию в виде и для начала рассмотрим полностью интегрируемую, не зависящую от времени гамильтонову систему с степенями свободы (которая была описана в главе 2), характеризующуюся

функцией действия

где некоторая (произвольная) начальная точка. Исходя из (6.3.4), мы воспроизводим стандартные соотношения между сопряженными переменными

На классическом торе с действием I классические траектории распределены равномерно по в. Поэтому соответствующая плотность точек в конфигурационном пространстве представляет собой проекцию плотности на торе на пространство е.

Учитывая, что плотность вероятности волновой функции равна находим выражение для амплитуды А

Впервые этот результат был получен Ван-Флеком в 1928 году [10]. Легко видеть, что если система имеет одну степень свободы, то это согласуется с результатами метода ВКБ. Наконец, наиболее существенным здесь представляется понимание того факта, что 5 является многозначной функцией Это вытекает из многозначности например, в случае одномерного ограниченного движения (см. рис. представляет собой двузначную функцию от

Рис. 6.1. (а) В фазовой плоскости одномерного ограниченного движения изображена типичная кривая постоянной энергии Импульс является двузначной функцией обе ветви совпадают в классических точках возврата Точки возврата определяются как точки на в которых касательные параллельны оси Проекция (задаваемая на ось образует гладкую огибающую проекция сингулярна в классических точках возврата

Поэтому волновая функция вида должна быть просуммирована по всем возможным ветвям 5

где сумма по означает суммирование по ветвям (волновая функция ВКБ (6.2.10) как раз и представляет собой сумму по двум ветвям, относящуюся к одномерному ограниченному движению).

Для того, чтобы волновая функция (6.3.8) была однозначной, полное изменение фазы по завершении одного классического «оборота» должно быть кратно На -мерном торе существует топологически различных замкнутых контуров движение вдоль которых приводит в ту же самую точку. Более того, движение по может быть связано с прохождением каустик, каждое из которых приводит к потере фазы Поэтому условие однозначности выглядит следующим образом

где число пересеченных каустик. Величины а обычно называют индексами Маслова. Таким образом, общее условие квантования в многомерном случае имеет вид

Его обычно называют правилом квантования Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера (ЭБК).