Глава 5. Динамика диссипативных систем

5.1. Диссипативные системы и турбулентность

В этой главе мы перейдем от изучения гамильтоновых систем и сохраняющих площадь отображений к исследованию динамики диссипативных систем. Эти системы уже обсуждались в главе 1 при рассмотрении различных затухающих колебаний, характеризуемых наличием предельного цикла или неподвижной точки. При этом в разделе 1.6 вскользь отмечалось, что диссипация не всегда приводит к затуханию интересующей нас динамики и при определенных условиях может быть причиной хаотического поведения.

Современные исследования диссипативных динамических систем обусловлены главным образом стремлением объяснить различные явления, наблюдаемые в гидродинамических экспериментах. Некоторые примеры мы рассмотрим в следующем разделе. Помимо этого есть надежда, что изучение свойств этих диссипативных систем поможет пролить свет на чрезвычайно сложную проблему гидродинамической турбулентности, хотя на сегодняшний день успехи в этом направлении весьма ограничены. Прежде чем перейти к обсуждению успехов (и неудач) этого подхода, дадим краткий обзор необходимых понятий гидродинамики.

5.1.а. Уравнение Навье-Стокса

Уравнения Навье-Стокса представляют собой фундаментальные уравнения движения несжимаемой жидкости:

где — граница области, содержащей жидкость, и — поле скоростей жидкости давление, плотность жидкости, внешние силы (если они имеются), кинематическая вязкость. Возможность диссипации энергии обеспечивается наличием в уравнении члена Уравнение (5.5.1а) представляет собой трехмерное дифференциальное уравнение в частных производных для поля

скоростей и относительно неподвижной системы координат. (Вспомним, что это соответствует подходу Эйлера к описанию жидкостей). Уравнение (5.1.16) является условием несжимаемости, а уравнение (5.1.1 в) — граничное условие. Печальная правда состоит в том, что даже на сегодняшний день о формальных свойствах уравнения Навье-Стокса в трех измерениях (не говоря уже об отыскании точных решений) известно очень мало; до сих пор, например, не существует доказательства существования решений при всех значениях времени. (Для двумерных уравнений такие результаты имеются.)

При этом то, что связано с экспериментальным наблюдением гидродинамических течений (т. е. физической реальности, описываемой уравнениями Навье—Стокса), изучено достаточно хорошо. Пионерские работы в этой области были проведены Рейнольдсом в 1880-х годах. Одним из важнейших его результатов было введение безразмерного параметра, называемого теперь числом Рейнольдса,

где типичные масштабы скорости и длины в изучаемой системе соответственно. Если в уравнение Навье-Стокса перейти к безразмерным величинам, отнеся скорости к а координаты к (масштаб времени при этом то получим (опустив силовой член в (5.1.1а))

где введено также «безразмерное» давление: Рейнольдс показал, что с ростом характер течения может измениться от гладкого регулярного (ламинарное течение) к неупорядоченному хаотическому (турбулентное течение).