7.2.г. Законы сохранения

Если у. ч. п., такие как уравнение КдФ, рассматривать как динамические системы с бесконечным числом степеней свободы, то естественно, учитывая характер предыдущего изложения, задаться вопросом, имеют ли эти уравнения какие-либо интегралы движения. В случае у. ч. п. вместо понятия интефал движения используется понятие законов сохранения. Они представляют собой соотношения вида

где определенные функции решения и у. ч. п. и его производных. называется плотностью, потоком. Если является фадиентом как следует из (7.2.20), то закон сохранения тривиален, так как

Если для систем, определенных на бесконечном интервале поток X обращается в ноль при интефирование обеих частей (7.2.20) по х дает

Отсюда вытекает, что

Мы можем, таким образом, рассматривать эти величины как аналог для у. ч. п. интефалов движения о. д. у.

В случае уравнения само уравнение имеет вид закона сохранения:

Из этого закона сохранения вытекает соотношение

выражающее сохранение массы. Умножая уравнение КдФ на и, получаем второй закон сохранения

В этом случае

что соответствует сохранению импульса. Некоторое экспериментирование приводит к третьему закону сохранения

откуда следует

Позднее мы покажем, каким именно образом интеграл (7.2.27) представляет гамильтониан для уравнения КдФ.

Отыскав три закона сохранения, естественно задаться вопросом, существуют ли еще законы сохранения и не может ли их число быть бесконечным, что соответствовало бы бесконечному числу степеней свободы? Последнее в некотором смысле означало бы полную «интегрируемость». Поначалу Крускал с соавт. [12] нашли (с помощью средств, лишь немногим превосходящих грубые численные прикидки на бумаге) девять законов сохранения. Героические усилия Миуры [11] завершились отысканием десятого закона, что в то время явилось существенным доводом в пользу существования бесконечного числа сохраняющихся величин.