3.4. Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера

Этот принципиальный прорыв связан с появлением теоремы, сформулированной в 1954 году Колмогоровым и затем последовательно доказанной в начале 1960-х Арнольдом и Мозером [14,15,16]. Следуя принятым Арнольдом обозначениям, предположим, что некоторая (интегрируемая) гамильтонова функция возмущена с помощью функции следующим образом:

где должна быть периодической в исходных угловых переменных (т. е. ) и в определенном смысле «достаточно мала» (т.е. ).

(Можно, например, считать, что умножается на некоторый малый параметр Уравнения Гамильтона в этом случае имеют вид

где — невозмущенные частоты, т.е.

Для большинства начальных условий Колмогоров наметил доказательство утверждения, что движение (3.4.1) остается преимущественно квазипериодическим, т.е. ограничено торами, и что мера (по Лебегу) дополнения к квазипериодическому движению (т. е. хаотического движения) мала при условии, что мало. КАМ-теорема формулируется в предположении аналитичности гамильтониана в комплексной области фазового пространства и невырожденности невозмущенного движения, т. е.

Следующий шаг заключается в том, чтобы в невозмущенной системе отыскать по соответствующему набору частот определенный тор (обозначим его через А именно выберем вектор несоизмеримых частот (т. е. для всех целых и зададим инвариантный тор невозмущенной системы уравнений где Таким образом, система характеризуется частотами на есть линейный поток на торе То.

Теперь может быть сформулирован один из вариантов знаменитой КАМ-теоремы.

Теорема теорема 21.7). Если достаточно мал, то практически для всех существует такой инвариантный тор возмущенной системы, что «близок» к

Более того, торы образуют множества положительной меры, дополнение к которым имеет меру, стремящуюся к нулю при

Доказательство этой теоремы — в высшей степени нетривиальное несмотря на простоту ее формулировки — принадлежит Арнольду (1963). Версия, доказанная Мозером (1962), связана с классом эквивалентности отображений (см. раздел 3.5 и главу 4). Мы не будем приводить здесь полного доказательства, а вместо этого попытаемся обсудить некоторые ключевые идеи, выходящие за его рамки. Трудно переоценить значение КАМ-теоремы, которая дала выход из тупика проблемы малых знаменателей в классической теории возмущений и явилась исходным пунктом в понимании природы возникновения хаоса в гамильтоновых системах.

Отметим, что по своей философии КАМ-теорема отличается от традиционной теории возмущений. Вместо того, чтобы пытаться построить глобальные решения уравнения Гамильтона-Якоби путем анализа невозмущенного движения, авторы КАМ-теоремы пошли по пути доказательства существования отдельных, отвечающих определенным условиям, торов в (слабо) возмущенной системе. При этом им удалось доказать, что условием существования данного тора является существенная иррациональность частоты Такой подход напоминает отыскание конкретного корня (алгебраического) уравнения. Двумя основными составляющими доказательства являются:

(1) «Суперсходящаяся» процедура отыскания корней, представляющая собой аналог старого метода Ньютона-Рафсона в функциональном пространстве. Эта

процедура обладает прекрасными свойствами сходимости, которые могут «перекрывать» расходимость, присущую традиционной теории возмущений.

(2) Теоретико-числовой анализ, определяющий степень иррациональности частот требуемую для существования «корня» (т. е. тора ).