4.4. Гомоклинные и гетероклинные точки

Чтобы завершить картину, представленную на рис. 4.16, необходимо рассмотреть, что происходит в окрестности гиперболических неподвижных точек. Результаты, как мы увидим, весьма необычны. Мы будем здесь следовать изложению Берри [21.

Рис. 4.17. Устойчивые многообразия и неустойчивые многообразия гиперболической неподвижной точки

Гиперболическая неподвижная точка характеризуется четырьмя инвариантными кривыми или многообразиями: два входящих или устойчивых многообразия и два выходящих или неустойчивых многообразия как показано на рис. 4.17.

Точки на экспоненциально медленно сходятся к неподвижной точке ,

тогда как точки на экспоненциально медленно разбегаются от ,

4.4.а. Пересечения Н+ и Н-

Проанализируем, каким образом могут «взаимодействовать» друг с другом. Как мы видели выше, в случае интегрируемых систем многообразия исходящие из гиперболической неподвижной точкой, образуют сепаратрису

(см., например, случай маятника). На рис. изображен случай, когда входящее многообразие плавно соединяется с входящим, и в результате образуется гладкая петля. Такую кривую иногда называют гомоклинной траекторией. На рис. представлен другой вариант, при котором для семейства из трех гиперболических неподвижных точек (т. е. неподвижных точек отображения соединяются друг с другом так, как показано на рисунке. Полученная картина не отличается принципиально (разве что при поверхностном рассмотрении!) от структуры поверхности сечения системы Хенона-Хейлеса (рис. 4.4 (а)).

Рис. 4.18. (а) Плавное присоединение относящихся к одной и той же неподвижной гиперболической точке X, приводящее к образованию гомоклинной траектории, (б) Семейство из трех плавно связанных гиперболических точек

Такое гладкое соединение многообразий является исключением и может иметь место лишь в случае интегрируемых систем. Общая ситуация гораздо сложнее. Многообразия не имеют самопересечений, но при этом могут пересекать друг друга так, как показано на рис. 4.19. Если точка пересечения образована многообразиями, связанными с одной и той же неподвижной точкой или с неподвижными точками одного семейства (примером могут служить три неподвижные точки представленные на внутренней части она называется гомоклинной точкой. Если пересекающиеся многообразия связаны с неподвижными точками различных семейств (например, неподвижные точки на внутренней и внешней частях рис. 4.16), точка их пересечения называется гетероклинной точкой.

Рис. 4.19. Пересечение устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия относящихся к одной и той же гиперболической неподвижной точке, с образованием гомоклинной точки Необходимо подчеркнуть, что изображенные здесь кривые не соответствуют какой-либо одной траектории, а проведены через последовательные пересечения траектории с плоскостью

Однако подобные пересечения совсем не просты! Рассмотрим гомоклинную точку X и соседние с нею точки и (рис. Эти две точки отображаются, как показано на рисунке, в точки и соответственно. Проблема заключается в следующем. Поскольку X расположена «спереди» как так и ее образ должен в силу непрерывности отображения располагаться «спереди» и Понятно, что это невозможно. Противоречие можно разрешить, если образовать

Рис. 4.20. (а) Отображение соседних точек в и и неоднозначность образа гомоклинной точки Единственность образа достигается за счет образования петли на многообразии. (в) Образ точки порождает более длинную и тонкую петлю, ограничивающую такую же площадь

петлю, как показано на рис. 4.20 (б). Но при этом возникает новая точка пересечения (гомоклинная точка) Из аналогичных рассуждений следует, что должна отобразиться в новую гомоклинную точку за счет образования второй петли, как показано на рис. При этом расстояние между и будет меньше, чем между , так как располагается ближе к гиперболической точке, чем . С учетом сохранения площадей, площади двух петель между и должны быть равны. А для этого вторая петля должна быть тоньше и более вытянута, чем первая.

В результате дальнейших построений образуется бесконечное число пересечений; вся область оказывается плотно покрытой гомоклинными точками, а располагающиеся между ними петли становятся все более длинными и тонкими. В целом картина чрезвычайно сложна (рис. 4.21). Эту сложность подчеркивал Пуанкаре в своем основополагающем трактате «Новые методы небесной механики» [9]:

«Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навеваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся».

Теперь мы можем дополнить деталями, по крайней мере приближенно, рис. 4.16. В результате получаем картину, изображенную на рис. 4.22. Замечательно, что эта структура повторяет себя при изменении масштаба и, более того, является характерной для неинтегрируемых систем в общем случае. Такое же впечатление могла произвести при первом знакомстве (изображенная на рис. детальная динамика в окрестности гиперболической неподвижной точки отображения Хенона; вероятно теперь подобные картины уже не будут вызывать большое удивление.

Рис. 4.21. Сеть пересечений приводящих к плотному заполнению области гомоклинными точками и к образованию сети все более длинных и тонких петель одинаковой площади (заштрихованные области)

Рис. 4.22. Типичная самовоспроизводящаяся структура из эллиптических и гиперболических неподвижных точек и связанных с ними шмоклинных сетей. (Воспроизведено, с разрешения, из [4])